Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ϕ
|A|
ϕ
|A|
|¬A| = ¬|A| |A ◦ B| = |A| ◦ |B|, ◦ ∈ { ∨, N,
¡
¢
, ≡ }.
ϕ A
|A|
ϕ
= |A|
ϕ
=
o ι B
t u
0
a b c B
Com t : a t b = b t a Com u : a u b = b u a
Dtr1 : (a t b) u c = (a u c) t (b u c)
Dtr2 : (a u b) t c = (a t c) u (b t c)
t o : a t o = a u ι : a u ι = a
Cmp
0
: a t a
0
= ι Isl
0
: a u a
0
= o
o ι
n
h B, t, u,
−
, o, ι i
Com
1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé                                                     11


â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöàìè èñòèííîñòè ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé îöåíêó
ýòîé ôîðìóëû. Îöåíêó ôîðìóëû A â èíòåðïðåòàöèè ϕ áóäåì îáîçíà-
÷àòü |A|ϕ èëè ïðîñòî |A|, êîãäà ÿñíî, î êàêîé èíòåðïðåòàöèè èä¼ò ðå÷ü
èëè êîãäà èíòåðïðåòàöèÿ ïðîèçâîëüíà. Ïîíÿòíî, ÷òî
                                                                 ¡¢
    |¬A| = ¬|A| è |A ◦ B| = |A| ◦ |B|,         ãäå ◦ ∈ { ∨, N,     , ≡ }.

   Ãîâîðÿò, ÷òî ïðè äàííîé èíòåðïðåòàöèè ϕ ôîðìóëà A âåðèôèöè-
ðóåòñÿ , åñëè |A|ϕ = 1 è ôàëüñèôèöèðóåòñÿ 12 , åñëè |A|ϕ = 0. Èíòåð-
ïðåòàöèÿ, ïðè êîòîðîé ôîðìóëà âåðèôèöèðóåòñÿ, íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ ,
à ïðè êîòîðîé îíà ôàëüñèôèöèðóåòñÿ  êîíòðìîäåëüþ äàííîé ôîðìó-
ëû.

1.2 Áóëåâà àëãåáðà. Îïåðàòîð çàìûêàíèÿ. ßçûê ôóíêöèé è
    ÿçûê ôîðìóë

   Íàïîìíèì, ÷òî áóëåâîé àëãåáðîé íàçûâàåòñÿ ñîäåðæàùåå ïî êðàé-
íåé ìåðå äâà ýëåìåíòà  o (íóëü ) è ι (åäèíèöà )  ìíîæåñòâî B ñ
çàäàííûìè íà í¼ì áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè t (îáúåäèíåíèÿ ), u (ïåðå-
ñå÷åíèÿ ) è óíàðíîé îïåðàöèåé 0 (äîïîëíåíèÿ ). Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ
a, b è c èç B âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå çàêîíû (àêñèîìû ) áóëåâîé
àëãåáðû :
    Com t : a t b = b t a                     Com u : a u b = b u a
      Dtr1 : (a t b) u c = (a u c) t (b u c)
      Dtr2 : (a u b) t c = (a t c) u (b t c)
         to : a t o = a                          uι : a u ι = a
     Cmp 0 : a t a 0 = ι                        Isl 0 : a u a 0 = o
Ýëåìåíòû o è ι íàçûâàþò îñîáûìè ýëåìåíòàìè áóëåâîé àëãåáðû.
   Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà (AC) èëè ñòðóêòóðà åñòü ìíîæåñòâî ñ çà-
äàííîì íà í¼ì îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè. Óêàçàííîå ìíîæåñòâî íà-
çûâàþò îñíîâíûì èëè íîñèòåëåì ñîîòâåòñòâóþùåé ÀÑ. Ñòðóêòóðó çà-
ïèñûâàþò â âèäå óïîðÿäî÷åííîé n-êè â óãëîâûõ ñêîáêàõ, ïåðå÷èñëÿÿ
ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç çàïÿòóþ íîñèòåëü, îïåðàöèè (â ïîðÿäêå íåâîç-
ðàñòàíèÿ ìåñòíîñòåé), îòíîøåíèÿ (â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ àðíîñòåé)
è îñîáûå (èëè âûäåëåííûå ) ýëåìåíòû íîñèòåëÿ. Íåêîòîðûå ÷àñòè óêà-
çàííîãî îïèñàíèÿ ìîãóò îòñóòñòâîâàòü, íî, ÿñíî, íîñèòåëü è õîòÿ áû
îäíà îïåðàöèÿ èëè îäíî îòíîøåíèå èìåþòñÿ âñåãäà. Áóëåâà àëãåáðà
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ÀÑ êàê h B, t, u, − , o, ι i.
   Àêñèîìû áóëåâîé àëãåáðû äëÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòó-
ëèðóþò âûïîëíåíèå ïàð çàêîíîâ êîììóòàòèâíîñòè (Com), ïåðâîãî è
 12 Îò ëàò. verus  èñòèííûé, falsus  ëîæíûé è facio  äåëàþ

Страницы