Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 9 стр.

1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé                                                       9


äèêò
îðíîì ñìûñëå (¾íåâåðíî, ÷òî...¿)5 , ¾èëè¿  â ñîåäèíèòåëüíîì
ñìûñëå (¾èëè òî, èëè äðóãîå, èëè òî è äðóãîå âìåñòå¿), à â òðàêòîâêå
ñâÿçêè ¾è¿ îòñóòñòâóþò èíîãäà ïðîÿâëÿþùèåñÿ âðåìåíí
îé èëè ïðè-
÷èííûé àñïåêòû6 .
   Èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå èãðàåò îïå-
ðàöèÿ èìïëèêàöèè èëè óñëîâíîãî óòâåðæäåíèÿ , ïîçâîëÿþùàÿ â ÿâíîé
ôîðìå ñòðîèòü ëîãè÷åñêèå âûâîäû. Âõîäÿùèå â óñëîâíîå óòâåðæäå-
íèå âûñêàçûâàíèÿ èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ: åñëè äàíà èìïëèêà-
        ¡
öèÿ A ¢ B , òî A íàçûâàþò å¼ àíòåöåäåíòîì , à B  êîíñåêâåíòîì 7 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé èñòèííîñòè èìïëèêàöèè, îäíîâðåìåííàÿ èñ-
              ¡
òèííîñòü A ¢ B è A îçíà÷àåò èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèÿ B 8 . Èìïëè-
êàöèÿ, ïî-âèäèìîìó, â íàèáîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì äðóãèå ñâÿçêè, íå àäåê-
âàòíà ñâîåé ãðàììàòè÷åñêîé ôîðìå ¾åñëè..., òî...¿.
   Äåéñòâèòåëüíî, åñòåñòâåííî òðåáîâàòü, ÷òîáû âûðàæåíèå ¾Åñëè íà-
òóðàëüíîå n äåëèòñÿ íà 6, òî îíî äåëèòñÿ è íà 3¿ áûëî èñòèííûì ïðè
ëþáîì n. Íî òîãäà ïðè n = 3 èìååì ëîæíûé àíòåöåäåíò9 . Ïîýòîìó îáà
âûñêàçûâàíèÿ ¾Åñëè Çåìëÿ ïëîñêàÿ, òî äâàæäû äâà  ÷åòûðå¿ è ¾Åñ-
ëè Çåìëÿ ïëîñêàÿ, òî äâàæäû äâà  ïÿòü¿ ìû âûíóæäåíû îöåíèâàòü
êàê èñòèííûå. Òàêàÿ îöåíêà âñòóïàåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ îáû÷íûì ïî-
íèìàíèåì ñìûñëà ãðàììàòè÷åñêîé ñâÿçêè ¾åñëè..., òî...¿, ïðè êîòîðîì
ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðè÷èííàÿ ñâÿçü ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè å¼ óòâåðæäå-
íèÿìè.
                                      ¡
   Áèíàðíóþ ëîãè÷åñêóþ îïåðàöèþ ¢ ñ âåêòîðîì èñòèííîñòíûõ çíà-
÷åíèé (1, 1, 0, 1) ïðè ñòàíäàðòíîì ðàñïîëîæåíèè íàáîðîâ ïåðåìåííûõ
    5 Êîíòðàäèêòîðíûì îòðèöàíèåì âûñêàçûâàíèÿ ¾ñíåã áåëûé¿ áóäåò ¾íåâåðíî,
÷òî ñíåã áåëûé¿ èëè ýêâèâàëåíòíîå ¾ñíåã íå áåëûé¿.  ëîãèêå ðàññìàòðèâàþò è
êîíòðàðíîå îòðèöàíèå (ñì. âûøå îáñóæäåíèå ïàðàäîêñà ëæåöà). Îíî, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî: íàïðèìåð, âîçìîæíûìè êîíòðàðíûìè îòðèöàíèÿìè
ðàññìàòðèâàåìîãî âûñêàçûâàíèÿ áóäåò ¾ñíåã ÷¼ðíûé¿, ¾ñíåã çåë¼íûé¿ è ò.ä.
    6 Ñð. ¾åìó ñòàëî ñòðàøíî, è îí çàêðûë ãëàçà¿ è ¾îí çàêðûë ãëàçà, è åìó ñòà-
ëî ñòðàøíî¿.  èíòåðåñíîé êíèãå Þ.È. Ìàíèíà ¾Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå¿ (Ì.:
Ñîâ. ðàäèî, 1979) ïðèâåäåíû ïÿòü ñïîñîáîâ âûðàçèòü êîíúþíêöèþ äëÿ ðàçíûõ åñòå-
ñòâåííûõ ÿçûêîâ, âêëþ÷àÿ ëàòûíü, êèòàéñêèé è ñóàõèëè.
    7 Îò ëàò. antecedent  ïðåäøåñòâóþùèé è consequent  ïîñëåäóþùèé ÷ëåíû îò-
íîøåíèÿ.
    8 Åñëè èìïëèêàöèÿ èñòèííà, à àíòåöåäåíò ëîæåí, òî êîíñåêâåíò ìîæåò áûòü
êàê èñòèííûì, òàê è ëîæíûì. Ïðèìåð: ¾Åñëè âîçðàñòàþùàÿ êîíå÷íàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü p1 = 2, p2 = 3, . . . , pk ñîäåðæèò âñå ïðîñòûå ÷èñëà (Ak ), òî ÷èñ-
                                                                        ¡
ëî p1 · . . . · pk + 1  òàêæå ïðîñòîå (Bk )¿. Óñëîâíîå óòâåðæäåíèå Ak ¢ Bk èñ-
òèííî äëÿ ëþáîãî k . Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî è
âñå âûñêàçûâàíèÿ A1 , A2 , . . . ëîæíû. Ïîýòîìó èñïîëüçóÿ òîëüêî èñòèííîñòíûå
çíà÷åíèÿ, áåç îáðàùåíèÿ ê ñîäåðæàíèþ âûñêàçûâàíèé, èñòèííîñòü Bk îïðåäå-
ëèòü íåâîçìîæíî: íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèÿ B1 , . . . , B5 èñòèííû, à B6 ëîæíî:
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509.
    9 Èç ëîæíûõ ïîñûëîê ìîæåò ñëåäîâàòü èñòèíà. Ïðèìåð: ïðèíöèïèàëüíî íåâåðíàÿ
ãåîöåíòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìèðà Ïòîëåìåÿ î÷åíü òî÷íî îïèñûâàåò âèäèìîå äâèæåíèå
ïëàíåò.