Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 7 стр.

1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé                                                       7


áûòü íè èñòèííûì, íè ëîæíûì1 . Èñòèííîñòü âûðàæåíèÿ (11) çàâèñèò
îò êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ èç íåêîòîðîé îá-
ëàñòè îïðåäåëåíèÿ (îòëè÷íîé îò {0, 1}). Âûðàæåíèÿ òàêîãî òèïà íà-
çûâàþò âûñêàçûâàòåëüíûìè ôîðìàìè .
   Ïåðåéäåì òåïåðü ê îïåðàöèÿì íàä âûñêàçûâàíèÿìè. Îòìåòèì ñíà-
÷àëà, ÷òî êàæäîå èç âûñêàçûâàíèé (1), (2), (5) è (6) ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé îäíî íåðàçëîæèìîå óòâåðæäåíèå. Òàêèå âûñêàçûâàíèÿ íàçûâàþò
ïðîñòûìè (ýëåìåíòàðíûìè, àòîìàðíûìè ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûñêà-
çûâàíèÿ (3) è (4) ïðèìåðà 1.1 âêëþ÷àþò â ñåáÿ áîëåå ïðîñòûå óòâåð-
æäåíèÿ: âûñêàçûâàíèå (3) åñòü îòðèöàíèå íåêîòîðîãî ôàêòà, â âûñêà-
çûâàíèè (4) óòâåðæäàåòñÿ ñîâìåñòíàÿ ñïðàâåäëèâîñòü äâóõ ñâîéñòâ.
   Ïîñêîëüêó â êëàññè÷åñêîé àëãåáðå ëîãèêå âûñêàçûâàíèÿ áûâàþò ëè-
áî èñòèííûìè, ëèáî ëîæíûìè, è ðàññìàòðèâàåòñÿ îíè òîëüêî ñ ýòîé
òî÷êè çðåíèÿ, êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó âûñêàçûâàíèþ ìîæíî ñîïîñòà-
âèòü ïðîïîçèöèîíàëüíóþ 2 èëè ëîãè÷åñêóþ ïåðåìåííóþ , ïðèíèìàþùóþ
çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà {1, 0}. Ýòè ïåðåìåííûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü
ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñ ñåðåäèíû àëôàâèòà: p, q, . . . , z (âîç-
ìîæíî ñ èíäåêñàìè).
   Âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç äðóãèõ âûñêàçûâàíèé ñ ïî-
ìîùüþ ãðàììàòè÷åñêèõ ñâÿçîê ¾íå¿, ¾è¿, ¾èëè¿, ¾åñëè..., òî...¿ (¾èç...
ñëåäóåò...¿), ¾òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà¿ (¾..., åñëè è òîëüêî åñëè...¿,
¾ýêâèâàëåíòíî¿) íàçûâàþò ñëîæíûìè èëè ñîñòàâíûìè . Óêàçàííûå
ãðàììàòè÷åñêèå ñâÿçêè çàìåíÿþò ëîãè÷åñêèìè ñâÿçêàìè ¬ (îòðèöà-
                                             ¡
íèå)3 , N (êîíúþíêöèÿ), ∨ (äèçúþíêöèÿ), ¢ (èìïëèêàöèÿ) è ≡ (òîæ-
äåñòâî) ñîîòâåòñòâåííî. Â ðåçóëüòàòå òàêîé çàìåíû îáðàçóþòñÿ ôîðìó-
ëû èç ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ  ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìû
èëè ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè  íàä ââåä¼ííûì ìíîæåñòâîì ëîãè÷å-
ñêèõ ñâÿçîê; îíè îòíîñÿòñÿ ê ñèíòàêñèñó ëîãèêè.
   Ôîðìóëû àëãåáðû ëîãèêè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñëîæíûå âûñêà-
çûâàíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè èç íà÷àëà
   1 Â äðåâíîñòè (IV â. äî í.ý.) áûë îáíàðóæåí ïàðàäîêñ, ôîðìóëèðóþùèéñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì. Ôèëîñîô Ýïèìåíèä èç Êðèòà ñêàçàë: ¾Âñå êðèòÿíå  ëæåöû¿.
Îäíàêî, åñëè âñå êðèòÿíå  ëæåöû, òî Ýïèìåíèä, ïîñêîëüêó îí ñàì êðèòÿíèí,
ëæ¼ò è, ñëåäîâàòåëüíî, íå âñå êðèòÿíå ëæåöû. Âûõîäèò, èç âûñêàçûâàíèÿ Ýïè-
ìåíèäà ñëåäóåò òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå êðèòÿíèíà, êîòîðûé íå ëæ¼ò. Ýòî íå ÿâëÿ-
åòñÿ íåâîçìîæíûì, è ïîýòîìó çäåñü íåò íèêàêîãî ïàðàäîêñà. Ïàðàäîêñ âîçíèêàåò
ïðè èñïîëüçîâàíèè ò.í. êîíòðàðíîãî îòðèöàíèÿ (ñì. ñí. 5 íà ñ. 9), êîãäà ëîæíîñòü
óòâåðæäåíèÿ Ýïèìåíèäà áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî âñå êðèòÿíå  íå ëæåöû, ò.å. ãîâîðÿò
òîëüêî ïðàâäó. Äàííûé íåäîñòàòîê èñïðàâëåí â âûøåïðèâåä¼ííîì âûñêàçûâàíèè,
âîñõîäÿùåì ê Æ. Áóðèäàíó.
  Îòìåòèì, ÷òî íåâîçìîæíîñòü èñòèííîñòíîé îöåíêè ïîäîáíûõ âûðàæåíèé ëåæèò
â îñíîâå ðÿäà çàìå÷àòåëüíûõ òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.
   2 propositio (ëàò.)  ñóæäåíèå, âûñêàçûâàíèå
   3  îòå÷åñòâåííîì òèïîãðàôñêîì íàáîðå èç-çà òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé ðàíåå ÷à-
ñòî èñïîëüçîâàëè çíàê .