Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A, B, . . .
Φ = { ¬, N, ∨,
¡
¢
, ≡ }
(¬A), (A N B), (A∨B), (A
¡
¢
B), (A ≡ B) A B
Φ
A B
A B B
C A C
¬ Φ
N Φ
∨ Φ
A
0 2
A A = B A
B
p ∨ q 6= q ∨ p x N(y N z) 6= (x N y) N z
=
2
A
2
8                                 Ãëàâà 1. Êëàññè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîãèêè


àëôàâèòà: A, B, . . . 4 .
   Íàïîìíèì ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè è ïîíÿòèÿ,
ñ íèìè ñâÿçàííûå.
Îïðåäåëåíèå 1.1. Ôîðìóëîé íàä ìíîæåñòâîì Φ = { ¬, N, ∨, ¡¢, ≡ }
ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà
    1) ëþáàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ;
                                ¡
    2) (¬A), (A N B), (A∨B), (A ¢ B), (A ≡ B), ãäå A è B  ôîðìóëû
       íàä Φ.
   Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëû íàä ïðîèçâîëüíûì ìíîæå-
ñòâîì ñâÿçîê.
   Ôèãóðèðóþùèå â ï. 2) ôîðìóëû A è B íàçûâàþò ïîäôîðìóëà-
ìè , ñèìâîëû ñâÿçîê  ãëàâíûìè ñâÿçêàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóë,
à ñêîáêè  ïàðíûìè äðóã ê äðóãó. Åñëè A  ïîäôîðìóëà B , à B 
ïîäôîðìóëà C , òî A  ïîäôîðìóëà C . ×èñëî ñâÿçîê â äàííîé ôîð-
ìóëå åñòü å¼ äëèíà èëè ñëîæíîñòü .
   Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ôîðìóë ìû ïðèìèì ñëåäóþùèå ñîãëàøå-
íèÿ  ïðàâèëà ýêîíîìèè ñêîáîê è ïðèîðèòåòà ñâÿçîê (îïåðàöèé):
     ˆ   âíåøíèå ñêîáêè ó ôîðìóë, êàê ïðàâèëî, îïóñêàþòñÿ;
     ˆ   ñâÿçêà ¬ ñèëüíåå âñåõ îñòàëüíûõ ñâÿçîê èç Φ;
     ˆ   ñâÿçêà N ñèëüíåå îñòàëüíûõ äâóõìåñòíûõ ñâÿçîê èç Φ;
     ˆ   ñâÿçêà ∨ ñèëüíåå îñòàëüíûõ äâóõìåñòíûõ ñâÿçîê èç Φ
(¾ñèëüíåå¿ îçíà÷àåò çäåñü ¾âûïîëíÿåòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü¿).
   Ýëåìåíòàðíûå âûñêàçûâàíèÿ (ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå),
ðàññìàòðèâàåìûå êàê ôîðìóëû, áóäåì îòìå÷àòü íóëåâûì èíäåêñîì
(íàïðèìåð, A0 ). Ìíîæåñòâî âñåõ ôîðìóë C2 áóäåì îáîçíà÷àòü çíàêîì
A. Äàëåå ïîä çàïèñüþ A = B ìû áóäåì ïîíèìàòü, ÷òî ôîðìóëû A
è B ñîâïàäàþò êàê ñòðîêè ñèìâîëîâ, ò.å. èõ ñèíòàêñè÷åñêîå òîæäå-
ñòâî . Â ñèëó ýòîãî, íàïðèìåð, p ∨ q 6= q ∨ p è x N(y N z) 6= (x N y) N z .
Çàìåòèì, ÷òî ñèìâîë = íå ïðèíàäëåæèò ÿçûêó ëîãèêè C2 , íî
âûðàæàåò îòíîøåíèå òîæäåñòâà íà ìíîæåñòâå A âñåõ ôîðìóë C2 .
   Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ âûøå çàìåíà ãðàììàòè÷åñêèõ
ñâÿçîê íà ëîãè÷åñêèå íå âñåãäà òî÷íî ñîõðàíÿåò ñìûñë èñõîäíîé ôðà-
çû. Íàïðèìåð, ïðè òàêîé çàìåíå ¾íå¿ ïîíèìàåòñÿ âñåãäà â êîíòðà-
   4 Îòìåòèì, ÷òî â ëîãè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ òðàäèöèîííûå îáî-
çíà÷åíèÿ ýëåìåíòàðíûõ âûñêàçûâàíèé ïðîèçâîëüíûìè ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè
áóêâàìè (÷àñòî èìåííî ñ íà÷àëà àëôàâèòà), à ôîðìóë íàä íèìè  âûáîðîì îñî-
áûõ ëèáî øðèôòà, ëèáî àëôàâèòà. Òàê æå òðàäèöèîííî äëÿ ôîðìóë èñïîëüçóþò
ãîòè÷åñêèé øðèôò, õîòÿ âñòðå÷àþòñÿ è ðóêîïèñíûé øðèôò, è ãðå÷åñêèé àëôàâèò.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ, îäíàêî, íàáëþäàåòñÿ òåíäåíöèÿ ê óïðîùåíèþ îáîçíà÷åíèé.

Страницы