Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

⇒ ⇔
¡
¢
≡
¬, N, ∨,
¡
¢
, ≡
A B
¬ A A N B A ∨ B A
¡
¢
B A ≡ B
A
P
1
, . . . , P
n
p
1
, . . . , p
n
A(p
1
, . . . , p
n
) ¬, N, ∨,
¡
¢
, ≡
p
1
, . . . , p
n
A(p
1
, . . . , p
n
)
ϕ
n 2
n
10                                Ãëàâà 1. Êëàññè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîãèêè


íàçûâàþò â ëîãèêå ìàòåðèàëüíîé èìïëèêàöèåé , à íåñîãëàñîâàííîñòè
å¼ èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé ñî ñìûñëîì ãðàììàòè÷åñêîé ôîðìû ¾åñëè...,
òî...¿  ïàðàäîêñàìè ìàòåðèàëüíîé èìïëèêàöèè . Îòìåòèì, ÷òî ñòðåì-
ëåíèå èñêëþ÷èòü óêàçàííûå ïàðàäîêñû ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñòèìóëîâ
êîíñòðóèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ íåêëàññè÷åñêèõ ëîãèê.
     Â äàííîì ïîñîáèè çíàêè ⇒ è ⇔ ïðèìåíÿþòñÿ êàê ñîêðàùåíèÿ âû-
ðàæåíèé ¾åñëè..., òî...¿ è ¾..., åñëè è òîëüêî åñëè...¿ â òåêñòå, à çíàêè
  ¡¢
     è ≡ èñïîëüçóþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî â ôîðìóëàõ êàê ñèìâîëû ëîãè-
÷åñêèõ ñâÿçîê è îïåðàöèé èìïëèêàöèè è òîæäåñòâà ñîîòâåòñòâåííî.
     Êàê óæå óïîìèíàëîñü, â êëàññè÷åñêîé àëãåáðå ëîãèêè ðàññìàòðèâà-
þòñÿ òîëüêî òàêèå îïåðàöèè íàä âûñêàçûâàíèÿìè, èñòèííîñòíûå çíà-
÷åíèÿ êîòîðûõ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ èñòèííîñòíûìè çíà÷åíèÿìè
îïåðàíäîâ10 . Ýòî ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü ëîãè÷åñêèì ñâÿçêàì ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè èëè áóëåâû ôóíêöèè. Íàïîìíèì
                                                    ¡
òàáëèöû èñòèííîñòè áóëåâûõ ôóíêöèé ¬, N, ∨, ¢, ≡ (èñòèííîñòü ðå-
çóëüòàòà çàïèñûâàåì ïîä çíàêîì ëîãè÷åñêîé îïåðàöèè â ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé ñòðîêå, èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíîå óïîðÿäî÷åíèå íàáîðîâ çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ: ñíà÷àëà ïî A, ïîòîì ïî B ):
                                             ¡
         ¬A        ANB         A∨B         A ¢B         A≡B
          10        000         000         010          010
          01        001         011         011          001
                    100         110         100          100
                    111         111         111          111
     Äàííûå òàáëèöû èñòèííîñòè îïðåäåëÿþò ñåìàíòèêó àëãåáðû âû-
ñêàçûâàíèé, ïðèäàâàÿ ñìûñë ôîðìóëàì  èõ èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ.
Ïóñòü ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå A ïîñòðîåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëåìåí-
òàðíûõ âûñêàçûâàíèé P1 , . . . , Pn è òîëüêî èõ. Ñîïîñòàâèì óêàçàí-
íûì ýëåìåíòàðíûì âûñêàçûâàíèÿì ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûå
p1 , . . . , pn ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå âûñêàçûâàíèå áóäåò
                                                                     ¡
çàäàíî ôîðìóëîé A(p1 , . . . , pn ) íàä ìíîæåñòâîì ñâÿçîê ¬, N, ∨, ¢, ≡
îò äàííûõ ïåðåìåííûõ. Ïðèäàâàÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûì
p1 , . . . , pn , ñ ó÷¼òîì ïðèâåä¼ííûõ âûøå òàáëèö èñòèííîñòè ëîãè÷åñêèõ
ôóíêöèé, îïðåäåëÿåòñÿ îöåíêà (0 èëè 1) ôîðìóëû A(p1 , . . . , pn ).
     Îòîáðàæåíèå ϕ, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ïðîïîçèöèîíàëü-
íîé ïåðåìåííîé äàííîé ôîðìóëû îïðåäåë¼ííîå èñòèííîñòíîå çíà÷å-
íèå, íàçîâ¼ì èíòåðïðåòàöèåé 11 ýòîé ôîðìóëû. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ôîð-
ìóëû îò n ïåðåìåííûõ èìååòñÿ 2n íåýêâèâàëåíòíûõ èíòåðïðåòàöèé.
Êîíêðåòíûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû îïðåäåëÿþò
  10  íåêëàññè÷åñêèõ ëîãèêàõ ýòî ïðèâû÷íîå óñëîâèå èíîãäà íå èìååò ìåñòà: òàì
èñòèííîñòü ñëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ ìîæåò çàâèñåòü òàêæå è îò åãî ñòðóêòóðû, ñî-
äåðæàíèÿ âõîäÿùèõ â íåãî ïîíÿòèé, êîíòåêñòà è ò.ä. (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 21).
  11 interpretatio (ëàò.)  ðàçúÿñíÿþ, èñòîëêîâûâàþ.

Страницы