Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Dtr1, 2 t o u ι
Cmp
0
Isl
0
Inv
0
: (a
0
)
0
= a
ι
0
: ι
0
= o o
0
: o
0
= ι
DeM1 : (a t b)
0
= a
0
u b
0
DeM2 : (a u b)
0
= a
0
t b
0
t ι : a t ι = ι u o : a u o = o
Ass t : a t (b t c) = (a t b) t c
Ass u : a u (b u c) = (a u b) u c
Id t : a t a = a Id u : a u a = a
Abs1 : a u (a t b) = a Abs2 : a t (a u b) = a
Ass Id Abs
t ι u o
ι
0
o
0
DeM1, 2 Inv
0
M
S(M)
∪ ∩
−
M
S(M)
S(M) M
P(M) ∅, M ∈ S(M) ⊆ P(M)
h S(M), ∪, ∩,
−
, ∅, M i
P(M)
{M, ∅}
Γ = {s
1
, . . . , s
n
} ⊆ S(M )
∪Γ = s
1
∪. . .∪s
n
∩Γ = s
1
∩. . .∩s
n
Γ
∪∅ = ∅
∩∅ = M
∨ N ¬
∨ N
12                              Ãëàâà 1. Êëàññè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîãèêè


âòîðîãî äèñòðèáóòèâíûõ çàêîíîâ (Dtr1, 2). Çàêîíû t o, u ι, îïèñûâàþò
íåéòðàëüíûå ñâîéñòâà îñîáûõ ýëåìåíòîâ áóëåâîé àëãåáðû ïî îòíîøå-
íèþ ê îáúåäèíåíèþ è ïåðåñå÷åíèþ. Çàêîíû Cmp 0 è Isl 0 îïðåäåëÿþò
îñíîâíûå äîïîëíåíèÿ  åãî ïîëíîòó è îáîñîáëåííîñòü ñîîòâåòñòâåííî.
    Êðîìå óêàçàííûõ, â áóëåâîé àëãåáðå âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñî-
îòíîøåíèÿ:
       Inv 0 : (a 0 ) 0 = a
          ι0 : ι0 = o                            o0 : o0 = ι
     DeM 1 : (a t b) 0 = a 0 u b 0           DeM 2 : (a u b) 0 = a 0 t b 0
         tι : a t ι = ι                         uo : a u o = o
      Ass t : a t (b t c) = (a t b) t c
      Ass u : a u (b u c) = (a u b) u c
       Id t : a t a = a                        Id u : a u a = a
       Abs1 : a u (a t b) = a                 Abs2 : a t (a u b) = a
    Òàêèì îáðàçîì, â áóëåâîé àëãåáðå âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû àññîöèà-
òèâíîñòè (Ass), èäåìïîòåíòíîñòè (Id) è ïîãëîùåíèÿ (Abs). Îòìåòèì,
÷òî çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè îáåñïå÷èâàþò ýêâèâàëåíòíîñòü ïðîèçâîëü-
íûõ ñêîáî÷íûõ ñòðóêòóð êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèé. Çàêî-
íû t ι è u o îïèñûâàþò ïîãëîùàþùèå ñâîéñòâà îñîáûõ ýëåìåíòîâ áóëå-
âîé àëãåáðû ïî îòíîøåíèþ ê îáúåäèíåíèþ è ïåðåñå÷åíèþ. Ñâîéñòâà ι 0 ,
o 0 óêàçûâàþò íà âçàèìíóþ äîïîëíèòåëüíîñòü ýòèõ ýëåìåíòîâ. Âçàèì-
íûå ñâîéñòâà áèíàðíûõ îïåðàöèé è äîïîëíåíèÿ îïèñûâàþòñÿ çàêîíàìè
Äå Ìîðãàíà (DeM 1, 2). Çàêîí Inv 0 óêàçûâàåò íà èíâîëþòèâíîñòü äî-
ïîëíåíèÿ.
    Ðàññìîòðèì íåïóñòîå ìíîæåñòâî M è íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü
S(M ) åãî ïîäìíîæåñòâ, óñòîé÷èâóþ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé îáúåäè-
íåíèÿ (∪), ïåðåñå÷åíèÿ (∩) è äîïîëíåíèÿ (− ) äî M (ò.å. òàêóþ,÷òî
ðåçóëüòàò óêàçàííûõ îïåðàöèé íàä ýëåìåíòàìè èç S(M ) ïðèíàäëåæèò
S(M ) ). Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ (áóëåàí ) M áóäåì îáîçíà÷àòü
P(M ). Ïîíÿòíî, ÷òî ∅, M ∈ S(M ) ⊆ P(M ). Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà
h S(M ), ∪, ∩, − , ∅, M i íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé ìíîæåñòâ. Ëåãêî âèäåòü,
÷òî âñÿêàÿ àëãåáðà ìíîæåñòâ åñòü áóëåâà àëãåáðà (ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ
ñâîéñòâàìè òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé). Àëãåáðó ìíîæåñòâ ñ
íîñèòåëåì P(M ) íàçûâàþò òîòàëüíîé, à ñ äâóõýëåìåíòíûì íîñèòå-
ëåì {M, ∅}  òðèâèàëüíîé àëãåáðàìè ìíîæåñòâ.
    Äëÿ Γ = {s1 , . . . , sn } ⊆ S(M ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû îáúåäèíå-
íèå ∪Γ = s1 ∪. . .∪sn è ïåðåñå÷åíèå ∩Γ = s1 ∩. . .∩sn âñåõ ýëåìåíòîâ Γ.
Ïî îïðåäåëåíèþ (ñ ó÷¼òîì ìîíîòîííîñòè îïåðàöèé) ïîëàãàþò ∪∅ = ∅
è ∩∅ = M .
    Èç òàáëèö èñòèííîñòè ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé ∨, N è ¬ ñëåäóåò, ÷òî
îíè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
     ˆ îïåðàöèè ∨ è N êîììóòàòèâíû è âçàèìíî äèñòðèáóòèâíû;

Страницы