Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
A B A
B
A B
A
B
π
A·B
A+B
A B A
A
{ ∨, N, ¬ }
{ +, ·,
−
, }
14                            Ãëàâà 1. Êëàññè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîãèêè


äîáàâëåíèè ê C2 òîëüêî îäíîãî íîâîãî èñòèííîñòíîãî çíà÷åíèÿ. Ïðè-
ðîäà òàêîãî ðàäèêàëüíîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó äâóçíà÷íîé è òðåõçíà÷íîé
ëîãèêàìè íåÿñíà.
   Ðàññìîòðåííîå îïèñàíèå êëàññè÷åñêîé è ìíîãîçíà÷íûõ ëîãèê èñ-
ïîëüçóåòñÿ â ôóíêöèîíàëüíî-ëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Äëÿ ñîáñòâåí-
íî ëîãèêè õàðàêòåðíî çàäàíèå ëîãè÷åñêèõ ñèñòåì íà ÿçûêå ôîðìóë.
Òàêîé ÿçûê êîíñòðóêòèâåí: êàæäûé îáúåêò ñòðîèòñÿ âûïîëíåíèåì êî-
íå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ îïåðàöèé. Îäíàêî îí ñëàáåå ïî âûðàçè-
òåëüíûì ñðåäñòâàì ÿçûêà ôóíêöèé è ïîòîìó ïðè åãî èñïîëüçîâàíèè
ìîãóò âñòðåòèòüñÿ ñóùåñòâåííûå  èíîãäà íåóñòðàíèìûå  òðóäíîñòè,
÷òî èëëþñòðèðóåò íèæåñëåäóþùèé âàæíûé
Ïðèìåð 1.3. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ýëåêòðè÷åñêèõ âûêëþ÷àòåëåé èëè
êîíòàêòîâ, êîòîðûå ìîãóò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé 
çàìêíóòîì (ïðîâîäÿùåì) èëè ðàçîìêíóòîì (íå ïðîâîäÿùåì). Ó òàêèõ
êîíòàêòîâ ðàçëè÷àþò âõîäíîé è âûõîäíîé ïîëþñû, êîòîðûå ìîæíî ñî-
åäèíÿòü ñ ïîëþñàìè äðóãèõ êîíòàêòîâ, ñòðîÿ ýëåêòðè÷åñêèå äâóõïî-
ëþñíûå (îäèí âõîä è îäèí âûõîä) öåïè èëè ñõåìû.
   Åñëè äîïóñêàòü ñîåäèíåíèÿ äðóã ñ äðóãîì ëèøü âõîäíûõ è âûõîä-
íûõ ïîëþñîâ, òî èìååòñÿ òîëüêî äâà ñïîñîáà îáúåäèíåíèÿ öåïåé: ïîñëå-
äîâàòåëüíîå è ïàðàëëåëüíîå. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèåì öåïåé
A è B âûõîäíîé ïîëþñ öåïè A ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê âõîäíîìó ïîëþñó
öåïè B , ïðè ïàðëëåëüíîì  ïîïàðíî îáúåäèíÿþòñÿ âõîäíûå è âûõîä-
íûå öåïè A è B (â îáîèõ ñëó÷àÿõ âõîäíîé è âûõîäíîé ïîëþñû ïîëó-
÷åííîé öåïè îïðåäåëÿþòñÿ âõîäíûì ïîëþñîì A è âûõîäíûì ïîëþñîì
B ñîîòâåòñòâåííî). Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àþò êëàññ ò.í. ïàðàëëåëüíî-
ïîñëåäîâàòåëüíûõ êîíòàêòíûõ ñõåì (π -ñõåì).
   Ïîä ïðîèçâåäåíèåì A·B áóäåì ïîíèìàòü öåïü, îáðàçîâàííóþ ïîñëå-
äîâàòåëüíûì, à ïîä ñóììîé A+B  ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì öåïåé
A è B . Ïîä öåïüþ A áóäåì ïîíèìàòü öåïü, ïîëó÷åííóþ ðàçìûêàíèåì
âñåõ çàìêíóòûõ êîíòàêòîâ A è çàìûêàíèåì âñåõ å¼ ðàçîìêíóòûõ êîí-
òàêòîâ. ßñíî, ÷òî ïðîâîäèìîñòü äâóõïîëþñíîé öåïè ìîæåò áûòü îïèñà-
íà íåêîòîðîé áóëåâîé ôóíêöèåé îò ïåðåìåííûõ, ñîïîñòàâëåííûõ êîí-
òàêòàì. Ïðè ýòîì ïðîâîäèìîñòü ïîëó÷àåìûõ öåïåé áóäóò îïèñûâàòüñÿ
ôóíêöèÿìè, ïðåäñòàâèìûìè ò.í. áåñïîâòîðíûìè ôîðìóëàìè íàä ìíî-
æåñòâîì ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê { ∨, N, ¬ }, ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàöèÿì
{ +, ·, − , }, â êîòîðûõ êàæäîìó êîíòàêòó öåïè ñîîòâåòñòâóåò âûðàæàþ-
ùàÿ åãî ïðîâîäèìîñòü ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, âñòðå÷àþùàÿñÿ
â ôîðìóëå ðîâíî îäèí ðàç.
   Äâå öåïè áóäåì ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè, åñëè ìîæíî òàê ñîïîñòàâèòü
êîíòàêòàì ïåðåìåííûå, ÷òî ïðè îäíîì è òîì æå ñîñòîÿíèè êîíòàêòîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîé ïåðåìåííîé è âñåõ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ
îñòàëüíûõ êîíòàêòîâ, îáå ðàññìàòðèâàåìûå öåïè ÿâëÿþòñÿ îäíîâðå-
ìåííî ëèáî ïðîâîäÿùèìè, ëèáî íå ïðîâîäÿùèìè. Ââåäåííîå îòíîøå-

Страницы