Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

² B ∅ ² B
² A ≡ B ⇔ A ∼ B
A ² B
² A ⇒ ² B
A ² B ² A
A
¡
¢
B A ² B
ϕ
1
ϕ
2
|A|
ϕ
1
= |B|
ϕ
1
=
|A|
ϕ
2
= A
B ² A ⇒ ² B
A 2 B ϕ
1
Γ
Γ ²
Γ
A ² A ∈ F
Γ ² A ⇔ Γ, ¬ A ² . (DP)
A Γ
Γ ∪ {¬ A}
A ² t
f ² A DS
A
¡
¢
B, A ² B
A
¡
¢
B A
B
¡
¢
24                             Ãëàâà 1. Êëàññè÷åñêàÿ àëãåáðà ëîãèêè


² B è òàêàÿ çàïèñü ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåíèåì ∅ ² B . ßñíî òàêæå, ÷òî
² A ≡ B ⇔ A ∼ B.
    Îòìåòèì, ÷òî A ² B ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíûì óòâåðæäåíèåì, ÷åì
² A ⇒ ² B . Ïîêàæåì, ÷òî èç ïåðâîãî âñåãäà ñëåäóåò âòîðîå, íî
íå íàîáîðîò. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A ² B è ² A. Òîãäà, ïîñêîëüêó
    ¡
A ¢ B è A  òàâòîëîãèè, èìååì ² B . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü èìå-
þòñÿ äâå èíòåðïðåòàöèè ϕ1 è ϕ2 òàêèå, ÷òî |A|ϕ1 = 1, |B|ϕ1 = 0 è
|A|ϕ2 = 0. Òîãäà íåâåðíî, ÷òî A  òàâòîëîãèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
ëþáîé ôîðìóëû B ñïðàâåäëèâî ² A ⇒ ² B êàê ñëåäîâàíèå èç ëîæíî-
ãî óòâåðæäåíèÿ. Îäíàêî A 2 B , ïîñêîëüêó èíòåðïðåòàöèÿ ϕ1 ÿâëÿåòñÿ
êîíòðïðèìåðîì òàêîìó ëîãè÷åñêîìó ñëåäîâàíèþ.
Îïðåäåëåíèå 1.3. Ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ íàçûâàåòñÿ íåâûïîëíèìûì
(íåñîâìåñòíûì, ñåìàíòè÷åñêè ïðîòèâîðå÷èâûì, ñèìâîëè÷åñêè Γ ² ),
åñëè äëÿ ôîðìóë èç Γ íå ñóùåñòâóåò îáùåé ìîäåëè è âûïîëíè-
ìûì (ñîâìåñòíûì ) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
    A ² îçíà÷àåò A ∈ F. Òàêæå ìû âèäèì, ÷òî ìíîæåñòâî ôîðìóë
âñåãäà ñåìàíòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî èõ êîíúþíêöèè.
   Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî

                         Γ ² A ⇔ Γ, ¬ A ² .                    (DP )

Óêàçàííûé êðèòåðèé âûðàæàåò ïðèíöèï äåäóêöèè óòâåðæäàþùèé, ÷òî
ôîðìóëà A ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì ñëåäñòâèåì íàáîðà ôîðìóë Γ, åñëè è
òîëüêî åñëè íàáîð ôîðìóë Γ ∪ {¬ A} íåâûïîëíèì.
   Êîíêðåòíûå ëîãè÷åñêèå ñëåäîâàíèÿ íàçûâàþò (ëîãè÷åñêèìè) ïðà-
âèëàìè . Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî óñòàíàâëèâàòü èñòèííîñòü ñëåäñòâèÿ,
èñõîäÿ èç èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèé, ñîñòàâëÿþùèõ îñíîâàíèå, ò.å. îñó-
ùåñòâëÿòü ëîãè÷åñêèé âûâîä .
Ïðèìåð 1.6. Íèæå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ëîãè÷åñêèõ ïðàâèë (íåêîòî-
ðûå  ñ äîêàçàòåëüñòâîì).
     1. A ² t  ïðàâèëî ñàìîäîñòàòî÷íîñòè èñòèíû.
     2. f ² A  ïðàâèëî Äóíñà Ñêîòà (DS ).
        Ýòè ïðàâèëà ïðÿìî ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ çàêîíîâ.
             ¡
     3. A ¢ B, A ² B  çàêëþ÷åíèå ïî ïîëîæèòåëüíîìó ñïîñîáó.
        Äàííîå ïðàâèëî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè èñòèííîñòè èìïëèêàöèè
            ¡
        A ¢ B è àíòåöåäåíòà A ìîæíî óòâåðæäàòü èñòèííîñòü êîí-
        ñåêâåíòà B , ò.å. îñóùåñòâëÿòü ïðîñòåéøèé ëîãè÷åñêèé âûâîä.
        Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñåìàíòèêà ãðàììàòè÷åñêîé ñâÿçêè ¾åñëè...,
                                                                ¡¢
        òî...¿ ðàñïðåäåëÿåòñÿ çäåñü ìåæäó ñåìàíòèêîé ñâÿçêè        è
        äàííîãî ïðàâèëà. Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ êî âñåì ëîãè÷åñêèì

Страницы