Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

|A|
ϕ
6 |B|
ϕ
ϕ
A B B
A (A
¡
¢
B) ∈ T
B A
A ² B A B ²
²
2
A 2 B
A
¡
¢
B ²
A B
A ∼ B ⇔ A ² B B ² A .
A ² B A
2
A ² B B ² A A = B A ∼ B
A
1
N . . . N A
m
² B B
A
1
, . . . , A
m
A
1
, . . . , A
m
² B Γ ² B Γ
A
1
, . . . , A
m
A
1
, . . . , A
m
ϕ Γ
Γ ϕ
Γ Γ
ϕ
²
B
²
2. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå ôîðìóë                          23


2.3 Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå

   Åñëè |A|ϕ 6 |B|ϕ ïðè ëþáîé èíòåðïðåòàöèè ϕ, òî ãîâîðÿò, ÷òî èç
(ôîðìóëû) A ëîãè÷åñêè ñëåäóåò (ôîðìóëà) B èëè B ëîãè÷åñêè ñëåäó-
åò èç A. ßñíî, ÷òî ýòî îçíà÷àåò (A ¡¢ B) ∈ T, ò.å. èìååò ìåñòî ýêâèâà-
ëåíòíîñòü ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ òàâòîëîãè÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé
èìïëèêàöèè. Ôàêò ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ B èç A çàïèñûâàþò êàê
A ² B , íàçûâàÿ A  îñíîâàíèåì , B  ñëåäñòâèåì , à çíàê ² 
ñèìâîëîì ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ èëè ìåòàèìïëèêàöèè 16 .
   Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå îáåñïå÷èâàåò èñòèííîñòü ñëåäñòâèé ïðè èñ-
òèííîñòè îñíîâàíèé. Êîãäà áóäåò íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå â êëàññè÷åñêîé àëãåáðå ëîãèêè,
ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ çíàêîì ²C2 . Çàïèñü A 2 B îçíà÷àåò, ÷òî
   ¡
A ¢ B íå åñòü òàâòîëîãèÿ. Èñïîëüçóÿ çíàê ² ìîæíî îïðåäåëèòü ðàâ-
íîñèëüíîñòü ôîðìóë A è B êàê

                     A ∼ B ⇔ A ² B è B ² A.

    Íàïîìíèì, ÷òî áèíàðíîå ðåôëåêñèâíîå è òðàíçèòèâíîå îòíîøåíèå
íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå íàçûâàþò ïðåäïîðÿäêîì íà í¼ì. Åñëè ïðåä-
ïîðÿäîê îáëàäàåò åù¼ è ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðè÷íîñòè, òî îí íàçûâà-
åòñÿ (íåñòðîãèì) ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ëîãè÷åñêèå
ñëåäîâàíèå A ² B åñòü ïðåäïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå A ôîðìóë ëîãèêè
C2 .  òîæå âðåìÿ, A ² B è B ² A íå îçíà÷àåò A = B (à ëèøü A ∼ B ),
ò.å. äàííîå îòíîøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì è, çíà÷èò, îíî íå
åñòü ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê.
    Åñëè A1 N . . . N Am ² B , òî ãîâîðÿò, ÷òî B ëîãè÷åñêè ñëå-
äóåò èç ôîðìóë A1 , . . . , Am , íàçûâàåìûõ ãèïîòåçàìè , è ïèøóò
A1 , . . . , Am ² B èëè Γ ² B , ãäå Γ  ìóëüòèìíîæåñòâî, îáðàçî-
âàííîå ôîðìóëàìè A1 , . . . , Am . Íàïîìíèì, ÷òî â ìóëüòèìíîæåñòâå
íå âàæåí ïîðÿäîê ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòîâ, è êàæäûé ýëåìåíò
ìîæåò âõîäèòü â íåãî íå îäèí ðàç.  íàøåì ñëó÷àå ñðåäè ñïèñêà
ôîðìóë A1 , . . . , Am ìîãóò áûòü ïîâòîðÿþùèåñÿ. Âìåñòî âûðàæåíèÿ
¾ìóëüòèìíîæåñòâî ôîðìóë¿ áóäåì èíîãäà ãîâîðèòü íàáîð ôîðìóë .
Èíòåðïðåòàöèþ ϕ íàçûâàþò ìîäåëüþ äëÿ íàáîðà ôîðìóë Γ, åñëè
îíà  ìîäåëü äëÿ âñåõ ôîðìóë, ñîñòàâëÿþùèõ Γ. Èíòåðïðåòàöèÿ ϕ
åñòü êîíòðìîäåëü äëÿ íàáîðà ôîðìóë Γ, åñëè Γ ñîäåðæèò ôîðìóëó,
êîòîðóþ ϕ ôàëüñèôèöèðóåò.
     ñèëó ñêàçàííîãî, çíàê ² ìîæíî ÷èòàòü ¾(ëîãè÷åñêè) âëå÷¼ò, âëå-
êóò¿. Òî, ÷òî ôîðìóëà B ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé, îçíà÷àåò å¼ èñòèí-
íîñòü âíå çàâèñèìîñòè îò êàêèõ-ëèáî ãèïîòåç; ýòî çàïèñûâàþò êàê
 16 Çíàê ² äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ ââ¼ë Ñ. Êëèíè.

Страницы