Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F = (A
¡
¢
B) N A
¡
¢
B
|B| = |F | =
|B| = |A
¡
¢
B| = |¬ A| F
|F | =
F
F = ((A
¡
¢
B) N A)
¡
¢
B ∼ ((¬A ∨ B) N A)
¡
¢
B ∼
∼ (¬A N A) ∨ (A N B)
¡
¢
B ∼ A N B
¡
¢
B ∼ ¬(A N B) ∨ B ∼
∼ ¬
A
∨ ¬
B
∨
B,
F ∈ T ¤
A
1
, . . . , A
m
² A
1
N . . . N A
m
A
¡
¢
B, ¬ B ² ¬ A
A
¡
¢
(B
¡
¢
C) ² B
¡
¢
(A
¡
¢
C)
A
¡
¢
B, B
¡
¢
C ² A
¡
¢
C
A
¡
¢
B B
¡
¢
C
B A
¡
¢
C
F = (A
¡
¢
B) N(B
¡
¢
C)
¡
¢
(A
¡
¢
C)
|(A
¡
¢
B) N (B
¡
¢
C)| = |F | =
|A
¡
¢
B| = |B
¡
¢
C| =
|A| = |B| = |C| = |A
¡
¢
C| =
|A| = |A
¡
¢
C| =
2. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå ôîðìóë                            25


    ñèñòåìàì, ñîäåðæàùèì ìàòåðèàëüíóþ èìïëèêàöèþ è ïðàâèëî
    çàêëþ÷åíèÿ ïî ïîëîæèòåëüíîìó ñïîñîáó.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñâÿçàííóþ ñ äîêàçûâàåìûì ñëå-
                                ¡        ¡
    äîâàíèåì ôîðìóëó F = (A ¢ B) N A ¢ B , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
    íàäî ïîêàçàòü, ÷òî îíà  òàâòîëîãèÿ.
    Åñëè â íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè èìååì |B| = 1, òî è |F | = 1.
                              ¡
    Åñëè æå |B| = 0, òî |A ¢ B| = |¬ A|, àíòåöåäåíò F åñòü ïðî-
    òèâîðå÷èå, è |F | = 1.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé
    èíòåðïðåòàöèè, F åñòü òàâòîëîãèÿ.
    Ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü öåïî÷êó ðàâíîñèëüíîñòåé:

               ¡          ¡                  ¡
      F = ((A ¢ B) N A) ¢ B ∼ ((¬A ∨ B) N A) ¢ B ∼
                            ¡           ¡
       ∼ (¬A N A) ∨ (A N B) ¢ B ∼ A N B ¢ B ∼ ¬(A N B) ∨ B ∼
                                              ∼ ¬A ∨ ¬B ∨ B,

    îòêóäà F ∈ T.                                                     ¤


  4. A1 , . . . , Am ² A1 N . . . N Am .
         ¡
  5. A ¢ B, ¬ B ² ¬ A  çàêëþ÷åíèå ïî îòðèöàòåëüíîìó ñïîñîáó.
         ¡         ¡       ¡       ¡
  6. A ¢ (B ¢ C) ² B ¢ (A ¢ C)  ïðàâèëî ïåðåñòàíîâêè ïîñûëîê.
         ¡           ¡       ¡
  7. A ¢ B, B ¢ C ² A ¢ C  ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (Syll).
    Òî÷íåå, ¾ãèïîòåòè÷åñêîãî (ò.å. óñëîâíîãî) ñèëëîãèçìà¿.  ëîãèêå
    ñèëëîãèçìîì íàçûâàþò óìîçàêëþ÷åíèå, â êîòîðîì èç äâóõ ñóæ-
                         ¡          ¡
    äåíèé (ó íàñ ýòî A ¢ B è B ¢ C ), ñâÿçàííûõ îáùèì ñðåäíèì
                                                     ¡
    òåðìèíîì (B ), âûâîäèòñÿ òðåòüå ñóæäåíèå (A ¢ C ), â êîòîðîå
    ñðåäíèé òåðìèí íå âõîäèò. Òåîðèÿ ñèëëîãèñòèêè äëÿ îáùåóòâåð-
    äèòåëüíûõ, îáùåîòðèöàòåëüíûõ, ÷àñòíîóòâåðäèòåëüíûõ è ÷àñò-
    íîîòðèöàòåëüíûõ âûñêàçûâàíèé (òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåìûõ A,
    E, I è O ñîîòâåòñòâåííî), ðàçðàáîòàííàÿ â IV â. äî í.ý. Àðèñòî-
    òåëåì ñ óòî÷íåíèÿìè åãî ó÷åíèêà Òåîôðàñòà, áûëà èñòîðè÷åñêè
    ïåðâîé ñèñòåìîé âûâîäíîãî çíàíèÿ.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñâÿçàííóþ ñ äîêàçûâàåìûì ñëå-
                                  ¡          ¡¢       ¡    ¡
    äîâàíèåì ôîðìóëó F = (A ¢ B) N(B            C) ¢ (A ¢ C). Åñëè â
                                  ¡             ¡¢
    íåêîòîðîé èíòåðïðåòàöèè |(A ¢ B) N (B          C)| = 0, òî |F | = 1.
                     ¡¢        ¡¢
    Èíà÷å, èìååì |A B| = |B C| = 1 è:
                                                ¡
     (a) åñëè |A| = 1, òî |B| = 1, |C| = 1 è |A ¢ C| = 1,
                                        ¡¢
     (b) åñëè æå |A| = 0, òî ñðàçó |A C| = 1.

Страницы