Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[a]
α
[b]
β
A
&%
'$
a c
&%
'$
b
α β α ∪ β
α β α ⊆ αβ β ⊆ αβ α∪β ⊆ αβ
α ⊆ α ∪ β β ⊆ α ∪ β α ∪ β αβ ⊆ α ∪ β
α ∪ β = αβ
¤
α β A = {a, b, c, d}
A/α = {{a}, {b}, {c, d}} A/β = {{a, b}, {c}, {d}}
α ∪ β A/(α ∪ β) = {{a, b}, {c, d}}
α ∪ β a
b a(αβ)b aαb bβb
α ∪ β
a c a(αβ)c x
aαx xβc
α β A = {a, b, c, d}
{a, b} {c, d} {a, c} {b, d} αβ
βα A α β
α β A = {a, b, c}
{a, b} {c} {a} {b, c} a(αβ)c a(βα)c
αβ βα
S A
A S
A
α β
α ∪ β = αβ
28                                                   Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.



                                   [a]α '$[b]β
                                         '$

                                         a   c   b
                                       &%
                                        &%
                                                      A

                          Ðèñ. 2.2: Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 2.8

     2. Ïóñòü α, β è α ∪ β  ýêâèâàëåíòíîñòè. Òîãäà ïî òåîðåìå 2.3 î ñâîéñòâàõ ïðîèçâå-
        äåíèÿ îòíîøåíèé ïîëó÷èì:

       èç ï. 1)  ïîñêîëüêó α è β ðåôëåêñèâíû, òî α ⊆ αβ è β ⊆ αβ , îòêóäà α∪β ⊆ αβ
            ïî ìîíîòîííîñòè îáúåäèíåíèÿ;
       èç ï. 3)  ò.ê. α ⊆ α ∪ β è β ⊆ α ∪ β , à α ∪ β òðàíçèòèâíî, òî αβ ⊆ α ∪ β .

       Ñëåäîâàòåëüíî, α ∪ β = αβ .
                                                                                       ¤


Ïðèìåð 2.3. Ïóñòü α è β  ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A = {a, b, c, d} ñî ñìåæíûìè
êëàññàìè A/α = {{a}, {b}, {c, d}} è A/β = {{a, b}, {c}, {d}}.

     1. Òîãäà α ∪ β åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü è A/(α ∪ β) = {{a, b}, {c, d}}.
     2. Âîçüì¼ì äâà ýëåìåíòà èç îäíîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ïî α ∪ β , íàïðèìåð, a è
        b. Òîãäà ñïðàâåäëèâî a(αβ)b, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû îòíîøåíèÿ aαb è bβb.
       Òåïåðü âîçüì¼ì äâà ýëåìåíòà èç ðàçíûõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî α ∪ β , íà-
       ïðèìåð, a è c. Òîãäà a(αβ)c íåñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó íå ñóùåñòâóåò ýëåìåíòà x
       òàêîãî, ÷òî îòíîøåíèÿ aαx è xβc ñïðàâåäëèâû îäíîâðåìåííî.

  Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî îòíîøåíèÿ ìîãóò áûòü, à ìîãóò è íå áûòü ïåðåñòàíîâî÷íûìè.
Ïîêàæåì, ýòî îñòà¼òñÿ ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòåé.
Ïðèìåð 2.4. 1. Ïóñòü α è β  ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A = {a, b, c, d} ñî
    ñìåæíûìè êëàññàìè {a, b}, {c, d} è {a, c}, {b, d} ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà αβ è
    βα  àìîðôíûå ýêâèâàëåíòíîñòè íà A è, çíà÷èò, α è β ïåðåñòàíîâî÷íû.

     2. Ïóñòü α è β  ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A = {a, b, c} ñî ñìåæíûìè êëàññàìè
        {a, b}, {c} è {a}, {b, c} ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà a(αβ)c, íî íåâåðíî, ÷òî a(βα)c, è
        äàííûå ýêâèâàëåíòíîñòè íå ïåðåñòàíîâî÷íû. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì íè αβ , íè βα
        íå ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòÿìè.
     Ñëåäñòâèåì òåîðåìû òåîðåìû 2.3 ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà 2.9 (Î ñòàáèëüíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòåé). Ïðîèçâåäåíèå ýê-
âèâàëåíòíîñòåé áóäåò ýêâèâàëåíòíîñòüþ, åñëè è òîëüêî åñëè îíè ïåðåñòàíîâî÷íû.

   Åñëè S  íåêîòîðîå ñâîéñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òî íàèìåíüøèì ïîäìíîæå-
ñòâîì ìíîæåñòâà A, îáëàäàþùèì ñâîéñòâîì S íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäìíî-
æåñòâ A, ýëåìåíòû êîòîðûõ îáëàäàþò ýòèì ñâîéñòâîì.
   Îáúåäèíÿÿ óòâåðæäåíèÿ äàííîé òåîðåìû è òåîðåìû 2.8 (îá îáúåäèíåíèè ýêâèâàëåíò-
íîñòåé) äëÿ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé α è β è çàìå÷àÿ, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ
ìíîæåñòâ åñòü íàèìåíüøåå ìíîæåñòâî èõ ñîäåðæàùåå, ïîëó÷àåì, ÷òî α ∪ β = αβ , ò.å.
ñïðàâåäëèâà

Страницы