Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
E(A) A M
A
O
A
∼ A a ∈ A
[a]
∼
[a]
∼
= {x ∈ A | x ∼ a}
a [a]
x ∈ A
A
D = { A
1
, A
2
, . . . } A
D A
A = A
1
+ A
2
+ . . . , A
i
∩ A
j
= ∅ i 6= j
+ ∪
A
1
, A
2
, . . . D
A
A A
A
A
A A
∼ A a, b
A a ∼ b ⇔ a b
D A {A
1
, A
2
, . . .}
D
S = [D]
{∪, ∩,
−
}
∪, ∩,
−
S S
A A
1
, A
2
, . . .
M =
1 1 0
1 1 1
0 1 1
,
M
2
= I 6= M
26                                                  Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


   Ìíîæåñòâî âñåõ ýêâèâàëåíòíîñòåé íà (íåïóñòîì) ìíîæåñòâå A áóäåì îáîçíà÷àòü
E(A). Î÷åâèäíî, ëþáàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü íà A ñîäåðæèò MA è ñîäåðæèòñÿ â OA . Ïî-
ñëåäíåå îòíîøåíèå íàçûâàþò èíîãäà àìîðôíîé ýêâèâàëåíòíîñòüþ.
   Äëÿ äàííîé ýêâèâàëåíòíîñòè ∼ íà ìíîæåñòâå A êàæäîìó a ∈ A ìîæíî ñîïîñòàâèòü
ìíîæåñòâî [a]∼ ýêâèâàëåíòíûõ åìó ýëåìåíòîâ  êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè èëè ñìåæíûõ
êëàññîâ : [a]∼ = {x ∈ A | x ∼ a}. Åñëè ýêâèâàëåíòíîñòü ôèêñèðîâàíà, òî ñìåæíûé êëàññ
ýëåìåíòà a îáîçíà÷àåì [a].
   Ôîðìèðîâàíèå ñìåæíûõ êëàññîâ ïðîèñõîäèò â õîäå âûïîëíåíèÿ ò.í. îïåðàöèè àá-
ñòðàêöèè îòîæäåñòâëåíèÿ ïî äàííîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðè êîòîðîé îòâëåêàþòñÿ îò
èíäèâèäóàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ, âûäåëÿÿ ëèøü èõ îáùíîñòü. Ïîíÿòíî, ÷òî
ïðè ýòîì êàæäûé x ∈ A ïîïàäàåò â îäèí è òîëüêî îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, è êëàñ-
ñû ýêâèâàëåíòíîñòè èëè ñîâïàäàþò, èëè íå ïåðåñåêàþòñÿ, íàêðûâàÿ â ñîâîêóïíîñòè âñ¼
ìíîæåñòâî A.
   Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâîêóïíîñòü D = { A1 , A2 , . . . } íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A
îáðàçóåò åãî ðàçáèåíèå, åñëè îáúåäèíåíèå âñåõ ïîäìíîæåñòâ èç D ñîâïàäàåò ñ A è âñå
îíè ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ:

                     A = A1 + A2 + . . . ,    Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i 6= j                  (2.3)

(èñïîëüçîâàíèå çíàêà + âìåñòî ∪ ïîä÷¼ðêèâàåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ èìåííî ðàçáèåíèå
ìíîæåñòâà). Ýëåìåíòû A1 , A2 , . . . ðàçáèåíèÿ D íàçûâàþò áëîêàìè.
   Ïóñòü çàäàíî ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü îòíîøåíèå ýêâèâà-
ëåíòíîñòè íà A òàê, ÷òî ýëåìåíòû ðàçáèåíèÿ A áóäóò ñìåæíûìè êëàññàìè äàííîé ýê-
âèâàëåíòíîñòè. ßñíî, ÷òî òàêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü åäèíñòâåííà. Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó
îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè è ðàçáèåíèÿìè ñóùåñòâóåò âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåò-
ñòâèå.
   Ïðèâåä¼ííûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî îôîðìèòü â âèäå ïðîñòîé, íî î÷åíü âàæíîé òåîðå-
ìû.
Òåîðåìà 2.6 (Î êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè). Ïóñòü A  íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Åñ-
ëè íà A çàäàíà ýêâèâàëåíòíîñòü, òî ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò
ðàçáèåíèå A. È îáðàòíî, åñëè çàäàíî ðàçáèåíèå A íà êëàññû, òî ìîæíî åäèíñòâåííûì
îáðàçîì îïðåäåëèòü ýêâèâàëåíòíîñòü ∼ íà A òàê, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû a, b ýëåìåí-
òîâ A a ∼ b ⇔ ¾a è b íàõîäÿòñÿ â îäíîì êëàññå ðàçáèåíèÿ¿.
   ¾Òåîðåìà î êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè íàõîäèò â ìàòåìàòèêå øèðî÷àéøåå ïðèìåíåíèå,
è å¼ ïî ïðàâó ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîé èç ãëàâíûõ (à òî è ñàìîé ãëàâíîé) òåîðåìîé¿2 .
   Ïóñòü äàíî ðàçáèåíèå D íåïóñòîãî ìíîæåñòâà A íà êëàññû {A1 , A2 , . . .}. Çàìêí¼ì
D îòíîñèòåëüíî îñíîâíûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé, ò.å. ïîñòðîèì ìíîæåñòâî
S = [D]{∪, ∩, − } òàêîå, ÷òî îïåðàöèè ∪, ∩, − óñòîé÷èâû íà S . Òîãäà S áóäåò àëãåáðîé
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, ïðè÷¼ì å¼ àòîìàìè áóäóò A1 , A2 , . . ..
   Ýêâèâàëåíòíîñòü íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ìîæíî çàäàâàòü (0,1)-ìàòðèöåé (ñì. ï. 2.1).
ßñíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà áóäåò ñèììåòðè÷íà è ñîäåðæàòü 1 íà ãëàâíîé äèà-
ãîíàëè. Îäíàêî, íå êàæäàÿ òàêàÿ ìàòðèöà çàäà¼ò ýêâèâàëåíòíîñòü  íàïðèìåð, íèæå-
ïðèâåä¼ííàÿ ìàòðèöà                               
                                            1 1 0
                                   M =  1 1 1 ,                                (2.4)
                                            0 1 1
ïîñêîëüêó M 2 = I 6= M , ýêâèâàëåíòíîñòè íå çàäà¼ò.
  2 Â.À. Óñïåíñêèé. ×òî òàêîå àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä?  Èæåâñê: Èçäàòåëüñêèé äîì ¾Óäìóðòñêèé
óíèâåðñèòåò¿, 2000.

Страницы