Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∪ ∩
]
¦
∩
]
¦
α, β α
]
= α β
]
= β
(α ∪ β)
]
= α
]
∪ β
]
= α ∪ β α ∩ β)
]
= α
]
∩ β
]
= α ∩ β.
αβ = βα (αβ)
]
= β
]
α
]
= βα = αβ
αβ αβ = (αβ)
]
= β
]
α
]
= βα
α, β α
2
⊆ α β
2
⊆ β
α
2
∩ β
2
⊆ α ∩ β (α ∩ β)
2
⊆ α
2
∩ β
2
(α ∩ β)
2
⊆ α ∩ β
α
2
= αα ⊆ α ⇔ (αα)
]
⊆ α
]
⇔ α
]
α
]
⊆ α
]
⇔ (α
]
)
2
⊆ α
]
.
αβ = βα
(αβ)
2
= αβαβ = α αββ = α
2
β
2
= α β.
¤
α β
∪ ∩
]
αβ α ∩ β
]
= ∅
∩
]
∩
]
∪
α ∩ β
]
= α
]
∩ β = ∅
∪ ∩
]
αβ α β
a b aαb
bβa a(α ∩ β
]
)b a b
24                                                       Ãëàâà 2. Îòíîøåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ.


 2) ñèììåòðè÷íîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∪, ∩ è ] , à îòíîñèòåëüíî ¦  åñëè
    è òîëüêî åñëè îòíîøåíèÿ ïåðåñòàíîâî÷íû;
 3) òðàíçèòèâíîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∩ è ] , à îòíîñèòåëüíî ¦  åñëè îò-
    íîøåíèÿ ïåðåñòàíîâî÷íû.

Äîêàçàòåëüñòâî.

     1. Ïåðâûå òðè ñâîéñòâà î÷åâèäíû. Ñòàáèëüíîñòü ðåôëåêñèâíîñòè îòíîøåíèé îòíîñè-
        òåëüíî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò èç ï. 1 òåîðåìû 2.3 î ñâîéñòâàõ ïðîèçâåäåíèÿ îòíîøå-
        íèé.
     2. Ïóñòü α, β  îäíîðîäíûå îòíîøåíèÿ è α] = α, β ] = β . Äëÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðå-
        ñå÷åíèÿ èìååì

                  (α ∪ β)] = α] ∪ β ] = α ∪ β   è       α ∩ β)] = α] ∩ β ] = α ∩ β.

       Ñèììåòðè÷íîñòü îòíîøåíèÿ îçíà÷àåò åãî ñòàáèëüíîñòü îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè
       ïñåâäîîáðàùåíèÿ.
       Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äàííûõ îòíîøåíèé èìååì:

          ˆ åñëè åù¼ è αβ = βα, òî (αβ)] = β ] α] = βα = αβ ;
          ˆ åñëè αβ åù¼ è ñèììåòðè÷íî, òî αβ = (αβ)] = β ] α] = βα.

     3. Ïóñòü α, β  îäíîðîäíûå îòíîøåíèÿ è α2 ⊆ α, β 2 ⊆ β .
       Ñðàçó èìååì α2 ∩ β 2 ⊆ α ∩ β , à (2.1) îáåñïå÷èâàåò (α ∩ β)2 ⊆ α2 ∩ β 2 , îòêóäà
       (α ∩ β)2 ⊆ α ∩ β .
       Äëÿ ïñåâäîîáðàùåíèÿ èìååì

                     α2 = αα ⊆ α ⇔ (αα)] ⊆ α] ⇔ α] α] ⊆ α] ⇔ (α] )2 ⊆ α] .

       Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ îòíîøåíèé, åñëè åù¼ è αβ = βα, òî

                            (αβ)2 = αβαβ = ααββ = α2 β 2 = αβ.

                                                                                          ¤


Òåîðåìà 2.5 (Ñòàáèëüíîñòü îòðèöàòåëüíûõ ñâîéñòâ îäíîðîäíûõ îòíîøåíèé).
Äëÿ îäíîðîäíûõ îòíîøåíèé α è β
 1) àíòèðåôëåêñèâíîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∪, ∩ è ] ; à îòíîñèòåëüíî ïðîèç-
    âåäåíèÿ αβ  åñëè è òîëüêî åñëè α ∩ β ] = ∅ .
 2) àíòèñèììåòðè÷íîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∩ è ] .
 3) àñèììåòðè÷íîñòü ñòàáèëüíà îòíîñèòåëüíî ∩ è ] ; à îòíîñèòåëüíî ∪  åñëè è
    òîëüêî åñëè α ∩ β ] = α] ∩ β = ∅.

Äîêàçàòåëüñòâî.

     1. Àíòèðåôëåêñèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ∪, ∩,       ]
                                                        î÷åâèäíà.
       Àíòèðåôëåêñèâíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ αβ îòíîøåíèé α è β îçíà÷àåò, ÷òî íè äëÿ
       îäíîãî ýëåìåíòà a íå íàéä¼òñÿ ýëåìåíòà b ñ îäíîâðåìåííîé ñïðàâåäëèâîñòüþ aαb
       è bβa . Íî ýòî îçíà÷àåò ëîæíîñòü a(α ∩ β ] )b äëÿ âñåõ a è b , ÷òî ýêâèâàëåíòíî
       òðåáóåìîìó.

Страницы