Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α∩α
]
=M
(α ∩ β) ∩ (α ∩ β)
]
= α ∩ β ∩ α
]
∩ β
]
= (α ∩ α
]
) ∩ (β ∩ β
]
) ⊆ M ∩ M = M .
ρ ∩ ρ
]
= ∅
]
(α ∩ β) ∩ (α ∩ β)
]
= α ∩ β ∩ α
]
∩ β
]
= (α ∩ α
]
) ∩ (β ∩ β
]
) = ∅ .
(α ∪ β) ∩ (α ∪ β)
]
= (α ∪ β) ∩ (α
]
∪ β
]
) =
= (α ∩ α
]
) ∪ (β ∩ β
]
) ∪ (α ∩ β
]
) ∪ (β ∩ α
]
) =
= (α ∩ β
]
) ∪ (β ∩ α
]
) .
∅ α ∩ β
]
= α
]
∩ β = ∅
¤
∼
∼
M ⊆ ∼ = ∼
]
= ∼
2
.
n
2.3. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè                                                                   25


  2. Ñòàáèëüíîñòü àíòèñèììåòðè÷íîñòè ( α∩α] =M ) îòíîñèòåëüíî ïñåâäîîáðàùåíèÿ î÷å-
     âèäíà, à îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ å¼ äîêàçûâàþò ðàâåíñòâà

           (α ∩ β) ∩ (α ∩ β)] = α ∩ β ∩ α] ∩ β ] = (α ∩ α] ) ∩ (β ∩ β ] ) ⊆ M ∩ M = M .

  3. Ñòàáèëüíîñòü àñèììåòðè÷íîñòè ( ρ ∩ ρ] = ∅ ) îòíîñèòåëüíî            ]
                                                                             î÷åâèäíà.
     Äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ èìååì

               (α ∩ β) ∩ (α ∩ β)] = α ∩ β ∩ α] ∩ β ] = (α ∩ α] ) ∩ (β ∩ β ] ) = ∅ .

     Äëÿ îáúåäèíåíèÿ:

       (α ∪ β) ∩ (α ∪ β)] = (α ∪ β) ∩ (α] ∪ β ] ) =
                          = (α ∩ α] ) ∪ (β ∩ β ] ) ∪ (α ∩ β ] ) ∪ (β ∩ α] ) =
                                                                        = (α ∩ β ] ) ∪ (β ∩ α] ) .

     Ýòî âûðàæåíèå áóäåò ðàâíî ∅ åñëè è òîëüêî åñëè α ∩ β ] = α] ∩ β = ∅.
                                                                                                     ¤

   Ðàçëè÷íûå âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðèëîæåíèÿõ îòíîøåíèÿ îáëàäàþò òåìè èëè èíûìè èç
óêàçàííûõ âûøå ýëåìåíòàðíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, îäíîðîäíîå àíòèðåôëåêñèâíîå è àí-
òèñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íàçûâàþò îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ (èíîãäà ïðåäïîëàãàÿ
ó íåãî è íàëè÷èå ñâîéñòâà òðàíçèòèâíîñòè); îíî èãðàåò âàæíóþ ðîëü â òåîðèÿõ âûáî-
ðà, ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé, ñòðàòåãè÷åñêèõ èãð è äð. Íèæå â ï. 2.4 áóäåò ðàññìîòðåíî
îòíîøåíèå òîëåðàíòíîñòè, îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè è àíòèñèììåòðè÷íî-
ñòè è èñïîëüçóþùèåñÿ, íàïðèìåð, â òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, ãäå îíî íàçûâàåòñÿ
áëèçîñòüþ.
   Èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå è ïðèëîæåíèÿõ èãðàåò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíò-
íîñòè.


2.3 Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.6. Îäíîðîäíûå ðåôëåêñèâíûå, ñèììåòðè÷íûå è òðàíçèòèâíûå îòíîøå-
íèÿ íàçûâàþò îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè.

Çàìå÷àíèå. Èç òåîðåìû 2.2 ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå ðåôëåêñèâíîñòè â îïðåäåëåíèè ýêâèâà-
ëåíòíîñòè ìîæíî îñëàáèòü, ïîòðåáîâàâ ëèøü ñîâïàäåíèÿ ëþáîé èç ïðîåêöèé îòíîøåíèÿ
ñî âñåì ìíîæåñòâîì ñâîåãî çàäàíèÿ. Ïðèâåä¼ííîå îïðåäåëåíèå òðàäèöèîííî.
    Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ÷àñòî îáîçíà÷àþò çíàêîì ∼. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ è
ï. 2 òåîðåìû 2.3 î ñâîéñòâàõ ïðîèçâåäåíèÿ îòíîøåíèé, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ýêâèâàëåíòíî-
ñòè ∼ ñïðàâåäëèâî
                                  M ⊆ ∼ = ∼] = ∼2 .                            (2.2)
Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ÷àñòî íàçûâàþò ïðîñòî ýêâèâàëåíòíîñòüþ.
   ßñíî, ÷òî ýêâèâàëåíòíîñòü ýëåìåíòîâ êàêîãî-ëèáî ìíîæåñòâà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îçíà-
÷àåò èõ òîæäåñòâà. Ýêâèâàëåíòíîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, îòíîøåíèå ïàðàëëåëüíîñòè
íà ìíîæåñòâå ïðÿìûõ îáû÷íîãî ïðîñòðàíñòâà (åñëè ñ÷èòàòü ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíîé ñà-
ìîé ñåáå), îòíîøåíèå ïîäîáèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ïî ìîäóëþ
n öåëûõ ÷èñåë è äð.

Страницы