Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 90 стр.

90                                                     Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   Ó÷èòûâàÿ ìîäóëÿðíûé çàêîí è î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå xuy v xty ïîëó÷àåì äðóãîå,
äâîéñòâåííîå ê èñõîäíîìó, âûðàæåíèå äëÿ a:

                               a = (z t (x u y)) u (x t y).

Àíàëîãè÷íî
                b = (y t (z u x)) u (z t x),   c = (x t (y u z)) u (y t z).
   Èñïîëüçóÿ òåïåðü ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè äëÿ ìîäóëÿðíûõ ðåø¼òîê è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
u äâîéñòâåííî v , ïîëó÷èì a u b = b u c = c u a = u.
   Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå ýëåìåíòû a, b è c ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ïîäðåø¼òêà
{u, a, b, c, v} â L èçîìîðôíà ðîìáó M3 (u v a, b, c v v) . Ýòî íåâîçìîæíî, è, çíà÷èò,
u = a = b = c = u, íî òîãäà

                         (x t y) u z v a = u v (x u z) t (y u z),

è, ñëåäîâàòåëüíî, â L âûïîëíÿåòñÿ äèñòðèáóòèâíûé çàêîí.                              ¤


Ñëåäñòâèå (Êðèòåðèé äèñòðèáóòèâíîñòè ðåø¼òêè). Ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, åñ-
ëè è òîëüêî åñëè íèêàêàÿ å¼ ïîäðåø¼òêà íå èçîìîðôíà íè ïÿòèóãîëüíèêó N5 , íè ðîìáó
M3 .
     Â äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òêàõ è òîëüêî â íèõ ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî.
Òåîðåìà 4.15 (Ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê). Ðåø¼òêà
äèñòðèáóòèâíà, åñëè è òîëüêî åñëè â íåé ñïðàâåäëèâî ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ Abbr (4.3).
Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì â òåîðåìå 4.12, ïîñêîëüêó
äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ìîäóëÿðíà, à äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ìîæåò áûòü íàéäå-
íî â [13].                                                                       ¤


    äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ëåììû, êîòîðûå, âïðî÷åì, ïðåäñòàâëÿþò
è ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ.
Ëåììà 4.1. Ñîâîêóïíîñòü J(P ) ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà P åñòü äèñòðè-
áóòèâíàÿ ðåø¼òêà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P  ÷.ó. ìíîæåñòâî è J(P )  ñîâîêóïíîñòü ïîðÿäêîâûõ èäå-
àëîâ P . Ââåä¼ì íà J(P ) îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå
òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâà îáúåäèíåíèå è ïåðå-
ñå÷åíèå ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ åñòü ïîðÿäêîâûé èäåàë, ò.å. ìíîæåñòâî J(P ) óñòîé÷èâî
îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ∪ è ∩. Ñ äðóãîé  äàííûå îïåðàöèè óäîâëåòâîðÿþò âñåì àêñèî-
ìàì ðåø¼òêè, à òàêæå çàêîíàì äèñòðèáóòèâíîñòè (ñì. óòâåðæäåíèå 1.1). Òàêèì îáðàçîì,
J(P ) åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà.                                                ¤

   Â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííîé ëåììîé, ðåø¼òêà J(P ), ïîñòðîåííàÿ â ïðèìåðå 3.9 (ðèñ. 3.5),
äèñòðèáóòèâíà. Òàì îíà ñòðîèëàñü ñíèçó ââåðõ, ñ÷èòàÿ ÷òî åñëè èìåþòñÿ äâà ïîðÿä-
êîâûõ èäåàëà, òî äîëæíî ñóùåñòâîâàòü è èõ îáúåäèíåíèå. Íèæå áóäåò îïèñàí àëãîðèòì
ïîñòðîåíèÿ äèàãðàììû J(P ) ïî äèàãðàììå êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâà P . Çàìåòèì, ÷òî
ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, óñòîé÷èâàÿ îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-
ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ìíîæåñòâ è
J(P )  ïðèìåð êîëüöà ìíîæåñòâ.
    êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òêàõ àòîìû íå èãðàþò òàêîé ðîëè, êàê â áóëåâûõ
àëãåáðàõ. Íàïðèìåð, â êîíå÷íîé öåïè âñåãî îäèí àòîì. Çäåñü ãîðàçäî áîëüøåå çíà÷åíèå
èìåþò íåðàçëîæèìûå â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòû.