Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

hd, ei
hc, di ha, ei
hdi ha, b, c i hei
ha, bi ha, ci hb, ci
hai hbi hci
∅
J(Z
5
)
e(P )
P J(P )
∅ P
O
ha, b, ci 6 · 2 = 12 hdi hei
e(Z
5
) 5!
x
5
tg x
2
15
e(Z
5
) = 5!
2
15
= 16
b b = bt b b = b
1
t b
2
b
1
6= b 6= b
2
b
1
b
2
b
1
b
2
b
¤
L
Irr (L) x L Irr(x) = Irr (L)∩J(x)
L x
Irr(o) = ∅
x =
G
a ∈ Irr(x)
a .
92                                                               Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                              hd, ei
                                                     [[
                                                      [[
                                    
                               [[                                     [[
                               hc, di                           ha, ei


                                       [[                            [[
                                                  
                     hdi
                         [[                  [[
                                            ha, b, ci                         hei

                            [[                             [[           
                                                     
                                    [[ ha, ci[ hb, ci
                               ha, bi

                                      [       [[
                                     [  [
                                 hai
                                       [[      hbi               hci

                                         [[ 
                                            
                                                ∅


                        Ðèñ. 4.12: Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà J(Z5 )


    Äîêàçàíî òàêæå, ÷òî ìîùíîñòü e(P ) ìíîæåñòâà âñåõ ëèàíåðèçàöèé êîíå÷íîãî
÷.ó. ìíîæåñòâà P åñòü ÷èñëî âîñõîäÿùèõ ïóòåé ïî ýëåìåíòàì ðåø¼òêè J(P ) îò íàè-
ìåíüøåãî ýëåìåíòà ∅ ê íàèáîëüøåìó P O . Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî
òàêèõ ïóòåé 16 (ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ha, b, ci  6 · 2 = 12, à ÷åðåç hdi è hei  ïî 2).
Èç ôîðìóëû (3.4) ñëåäóåò, ÷òî e(Z5 ) åñòü 5! óìíîæåííîå íà 5-å ÷èñëî òàíãåíñà  êîýô-
ôèöèåíò ïðè x5 â ðàçëîæåíèè tg x â ðÿä Ìàêëîðåíà. Ïîñêîëüêó äàííûé êîýôôèöèåíò
       2                        2
åñòü     , ïîëó÷èì e(Z5 ) = 5!    = 16.
      15                       15
Ëåììà 4.2.  êîíå÷íîé ðåø¼òêå êàæäûé íåíóëåâîé ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí
â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ýëåìåíò b íåðàçëîæèì, òî b = b t b. Ïóñòü b = b1 t b2 è b1 6= b 6= b2 .
Åñëè è b1 , è b2 íåðàçëîæèìû, òî ëåììà äîêàçàíà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåì b1
è/èëè b2 â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñòðîãî ñîäåðæàùèõñÿ â íèõ ýëåìåíòîâ, è ò.ä. Â ñèëó êîíå÷-
íîñòè ðåø¼òêè óêàçàííûé ïðîöåññ çàêîí÷èòñÿ, è èñõîäíûé ýëåìåíò b áóäåò ïðåäñòàâëåí
â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ.                                               ¤

    Ìíîæåñòâî íåðàçëîæèìûõ â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ (äèñòðèáóòèâíîé) ðåø¼òêè L
áóäåì îáîçíà÷àòü Irr (L). Äëÿ ýëåìåíòà x ðåø¼òêè L îáîçíà÷èì Irr(x) = Irr (L)∩J(x) 
ìíîæåñòâî íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ L, ñîäåðæàùèõñÿ â x. Ôîðìàëüíî ñ÷èòàåì, ÷òî
Irr(o) = ∅. Äîêàçàííàÿ ëåììà óòâåðæäàåò (ñð. ñ (1.2) ), ÷òî
                                                 G
                                        x =                a.                               (4.4)
                                              a ∈ Irr(x)

Страницы