Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Irr(x) = {a} x = a Irr(x) = ∅ x = o
Irr (L) L
P Irr (J(P ))
∼
=
P
P J(P )
x
O
Irr (J(P ))
∼
=
J
0
(P )
P
∼
=
J
0
(P ) = Irr (J(P )) ¤
P
J(P )
x
O
∈ J
0
(P )
hb, ci
b
c
b
O
c
O
a
a
O
∅
a) P b) J(P ) J
0
(P )
P J(P ) J
0
(P )
4.4. Äèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè                                                        93


Ïðè Irr(x) = {a} äîãîâàðèâàþòñÿ ñ÷èòàòü x = a, à ïðè Irr(x) = ∅  x = o.
   Ìíîæåñòâî Irr (L) íàñëåäóåò îò L ïîðÿäîê è, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ ÷.ó. ìíîæå-
ñòâîì.

Ëåììà 4.3. Åñëè P  ÷.ó. ìíîæåñòâî, òî Irr (J(P )) ∼
                                                   = P.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P  ÷.ó. ìíîæåñòâî. Òîãäà J(P )  äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà åãî
ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ. ßñíî, ÷òî ïîðÿäêîâûé èäåàë ðåø¼òêè íåðàçëîæèì, åñëè è òîëü-
êî åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì, âèäà xO , è, òàêèì îáðàçîì, Irr (J(P )) ∼
                                                                     = J0 (P ). Ðà-
íåå (ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.6 î ïðåäñòàâëåíèè ÷.ó. ìíîæåñòâ) áûë óñòàíîâëåí
èçîìîðôèçì ìåæäó ÷.ó. ìíîæåñòâîì è ñîâîêóïíîñòüþ åãî ãëàâíûõ èäåàëîâ, ïîýòîìó
P ∼= J0 (P ) = Irr (J(P )).                                                       ¤


Ïðèìåð 4.10.  1. Äëÿ ÷.ó. ìíîæåñòâà P , çàäàííîãî äèàãðàììîé íà ðèñ. 4.13.a ìíîæå-
    ñòâî ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ J(P ) ñ âûäåëåííûì ìíîæåñòâîì ãëàâíûõ èäåàëîâ (ýëå-
    ìåíòû xO ∈ J0 (P ) ) ïðåäñòàâëåíî íà íà ðèñ. 4.13.b.


                                                     hb, ci
                                                           [
                                                            [[
                                                
                     b   [[          
                                         c   bO [                  cO
                           [[                  [[       
                                                        
                               a                      aO




                                                       ∅



                              a) P             b) J(P ) è J0 (P )


 Ðèñ. 4.13: ×.ó. ìíîæåñòâî P , äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà J(P ) è ÷.ó. ìíîæåñòâî J0 (P )

  2. Ñì. ðèñ. 3.5.
   Äëÿ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.16 (Áèðêãîô). Âñÿêàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â áóëåàí ïîä-
õîäÿùåãî ìíîæåñòâà ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ òî÷íûõ ãðàíåé.

    Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [12]. Ìû äîêàæåì ýòó
òåîðåìó äëÿ êëàññà êîíå÷íûõ ðåø¼òîê, ãäå îíà äîïóñêàåò âàæíîå óñèëåíèå. Îíî âûðà-
æàåòñÿ â òîì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû 4.1 ¾ñîâîêóïíîñòü ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíî-
æåñòâà åñòü äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà¿ ìîæíî îáðàòèòü, åñëè ðåø¼òêà êîíå÷íà. Ñëåäóÿ
[15], íàçîâ¼ì íèæåïðèâåä¼ííóþ òåîðåìó ¾ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìîé äëÿ êîíå÷íûõ äèñ-
òðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê (ÔÒÊÄÐ)¿.

Òåîðåìà 4.17 (ÔÒÊÄÐ). Âñÿêàÿ êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà èçîìîðôíà ðå-
ø¼òêå ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ïîäõîäÿùåãî ÷.ó. ìíîæåñòâà.

Страницы