Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h L, t, u i o
J(Irr (L)) Irr (L)
ψ : L → J(Irr(L))
x
x ψ(x) = J(Irr(x)) ψ L J(Irr (L))
x
Irr(x) ∈ J(Irr(L)) t
v
x v y ⇔ Irr(x) ⊆ Irr(y) ⇔ ψ(x) ⊆ ψ(y) .
ψ L J
(Irr (
L
)) ψ
I
J(Irr (L)) y =
F
a ∈ I
a I = Irr(y) = ψ(y)
L J(Irr (L)) ¤
J(Irr (L)) = comp(Irr (L)) J(Irr (L))
Irr (L)
J(P ), P
L
Irr (L) J(Irr (L))
L
Irr (L) J(Irr (L))
L x 7→ ψ(x), x ∈ L
ψ(o) = ∅ ; ψ(a) = hai
ψ(b) = hbi ; ψ(c) = ha, bi
ψ(d) = hdi ; ψ(e) = ha, di
ψ(ι) = hιi .
L P(A) A
h P(A), ⊆ i h N
◦
, ∨, ∧ i
L A
L → P(A) → h N
◦
, ∨, ∧ i → h N, | i.
94                                                    Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h L, t, u i  êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ñ íóë¼ì o è
J(Irr (L))  ðåø¼òêà ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà Irr (L).
    Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ψ : L → J(Irr(L)), ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëå-
ìåíòó x ðåø¼òêè ìíîæåñòâî å¼ íåðàçëîæèìûõ â îáúåäèíåíèå ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèõñÿ
â x: ψ(x) = J(Irr(x)). Ïîêàæåì, ÷òî ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó ðåø¼òêàìè L è J(Irr (L)).
Ïðè ýòîì, ïî òåîðåìå 4.4 äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ïîðÿäêîâûé èçîìîðôèçì.
    Ïî ëåììå 4.2 ñîîòíîøåíèå (4.4), ñ ó÷¼òîì ïðèâåä¼ííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ñîãëà-
øåíèé, îïðåäåëÿåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x ïîðÿäêîâûì èäåàëîì
Irr(x) ∈ J(Irr(L)). Êðîìå òîãî, ïî ñâîéñòâàì âçàèìîñâÿçàííûõ îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ t
è îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà v, èìååì
                       x v y ⇔ Irr(x) ⊆ Irr(y) ⇔ ψ(x) ⊆ ψ(y) .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ψ  ïîðÿäêîâûé ìîíîìîðôèçì èç L â J(Irr (L)). Îòîáðàæåíèå ψ
òàêæå è ñþðúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî,
                       F               ïóñòü I  ïðîèçâîëüíûé ïîðÿäêîâûé èäåàë èç
J(Irr (L)). Ïîëîæèì y = a ∈ I a. Ïî ñîîòíîøåíèþ (4.4) èìååì I = Irr(y) = ψ(y).
   Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî ðåø¼òêè L è J(Irr (L)) èçîìîðôíû.                ¤

    Ïîíÿòíî, ÷òî èçîìîðôèçì êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê îïðåäåëÿåò-
ñÿ èçîìîðôèçìîì ÷.ó. ìíîæåñòâ èõ íåðàçëîæèìûõ ýëåìåíòîâ. Îòìåòèì, ÷òî
J(Irr (L)) = comp(Irr (L)) , ò.å. ðåø¼òêà J(Irr (L)) åñòü ïîïîëíåíèå ÌàêÍèëà ÷.ó. ìíîæå-
ñòâà Irr (L) (ñì. ñ. 80).
    Äîêàçàííàÿ òåîðåìà èãðàåò áîëüøóþ ðîëü â ïåðå÷èñëèòåëüíîé êîìáèíàòîðèêå, ãäå
êîíêðåòíîé çàäà÷å îáû÷íî íåÿâíî ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ÷.ó. ìíîæåñòâî.  óïîìÿíóòîé
ìîíîãðàôèè [15] äàæå çàìå÷åíî, ÷òî ¾äëÿ êîìáèíàòîðíûõ öåëåé áûëî áû ëó÷øå âñåãî
îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ äèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó, êàê ïðîèçâîëüíîå ÷.ó. ìíîæåñòâî âèäà
J(P ), P êîíå÷íî¿.
Ïðèìåð 4.11.     1. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó íà ðèñ. 4.13.b êàê äèàãðàììó Õàññå íåêîòî-
      ðîé èñõîäíîé êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L. Òîãäà íà ðèñ. 4.13.a èçîáðàæå-
      íî ÷.ó. ìíîæåñòâî Irr (L), è ðåø¼òêà âñåõ ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ êîòîðîãî J(Irr (L))
      ñîâïàäàåò èçîáðàæ¼ííîé íà ðèñ. 4.13.b.
   2. Íà ðèñ. 4.14 ïðåäñòàâëåíû äèàãðàììû êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L è
      ÷.ó. ìíîæåñòâà Irr (L). Äèàãðàììà Õàññå ðåø¼òêè ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ J(Irr (L))
      ïîâòîðÿåò äèàãðàììó L ñ çàìåíîé x 7→ ψ(x), x ∈ L. Ïðè ýòîì
                        ψ(o)   =∅;                       ψ(a) = hai
                        ψ(b)   = hbi ;                   ψ(c) = ha, bi
                        ψ(d)   = hdi ;                   ψ(e) = ha, di
                        ψ(ι)   = hιi .
   Òåîðåìà Áèðêãîôà ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòû ëþáîé äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼ò-
êè ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà è ïîëüçîâàòüñÿ äèàãðàììàìè Ýéëåðà-Âåííà.
Èç íå¼ òàêæå âûòåêàåò èíòåðåñíîå
Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â óïîðÿäî÷åííóþ äå-
ëèìîñòüþ ðåø¼òêó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû Áèðêãîôà ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷íàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà
L âêëàäûâàåòñÿ â áóëåàí P(A) íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ âèäîâ èçîìîðôèçìà ðåø¼òîê è ïðèìåð 4.3.7 ïîêàçûâà-
þò, ÷òî h P(A), ⊆ i âëîæèìà â h N◦ , ∨, ∧ i. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êîíå÷íîé äèñòðèáóòèâíîé
ðåø¼òêè L è ïîäõîäÿùåãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà A èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåíèé
                         L ,→ P(A) ,→ h N◦ , ∨, ∧ i ,→ h N, | i.

Страницы