Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

210
30 30
6 10 6 15
2 2 3
1 1
a) b)
h N, | i
ϕ : L → L
0
Ker ϕ
a(Ker ϕ)b ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) .
½
a(Ker ϕ)c
b(Ker ϕ)d
⇔
½
ϕ(a t b) = ϕ(a) t ϕ(b) = ϕ(c) t ϕ(d) = ϕ(c t d) ,
ϕ(a u b) = ϕ(a) u ϕ(b) = ϕ(c) u ϕ(d) = ϕ(c u d) .
(a t b) (Ker ϕ) (c t d) (a u b) (Ker ϕ) (c u d) Ker ϕ
ϕ
I
L ∼
I
L
a ∼
I
b ⇔
∃
I
x (a t x = b t x) .
a ∼
I
b b ∼
I
c
x, y ∈ I a t x = b t x b t y = c t y
½
a t x = b t x
b t y = c t y
⇒ a t x t y = b t x t y = c t x t y
a ∼
I
c x t y ∈ I
L/I
[·]
I
[a]
I
= a t I a ∈ L
I
∼
I
96                                                          Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè



                                                                 210




                        [[
                         30
                                                             [[  30

                            [                                    [
                                                     
                  6 [         10                     6 [           15
                      [[                           [[        
                                                           
                             2                 2 [          3
                                                   [[ 
                                                       
                             1                         1


                         a)                            b)


      Ðèñ. 4.15: Âëîæåíèÿ êîíå÷íûõ äèñòðèáóòèâíûõ ðåø¼òîê â ðåø¼òêó h N, | i


   Äëÿ ãîìîìîðôèçìà ðåø¼òîê ϕ : L → L 0 ïî (2.9) îïðåäåëÿåòñÿ ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíò-
íîñòü Ker ϕ:
                          a(Ker ϕ)b ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) .
Äàëåå èìååì
         ½                   ½
             a(Ker ϕ)c           ϕ(a t b) = ϕ(a) t ϕ(b) = ϕ(c) t ϕ(d) = ϕ(c t d) ,
                         ⇔
             b(Ker ϕ)d           ϕ(a u b) = ϕ(a) u ϕ(b) = ϕ(c) u ϕ(d) = ϕ(c u d) .

Ñëåäîâàòåëüíî, (a t b) (Ker ϕ) (c t d) è (a u b) (Ker ϕ) (c u d), ò.å. Ker ϕ îêàçûâàåòñÿ
êîíãðóýíöèåé. Ýòà êîíãðóýíöèÿ íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà ϕ.
   Ðàññòðîèì âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîíãðóýíòíîñòåé íà ðåø¼òêàõ. Ïóñòü I  èäåàë
äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè L. Ðàññìîòðèì áèíàðíîå îòíîøåíèå ∼I íà L, ââîäèìîå ïî
ïðàâèëó
                            a ∼I b ⇔ ∃ x (a t x = b t x) .                          (4.6)
                                           I

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî îòíîøåíèå åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, åãî ðåôëåêñèâ-
íîñòü è ñèììåòðè÷íîñòü î÷åâèäíû. Ïîêàæåì òðàíçèòèâíîñòü. Ïóñòü a ∼I b è b ∼I c.
Ýòî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå x, y ∈ I òàêèõ, ÷òî a t x = b t x è b t y = c t y . Äàëåå
ïîëó÷àåì         ½
                   atx = btx
                                 ⇒ atxty = btxty = ctxty
                   bty = cty
è a ∼I c, ò.ê. x t y ∈ I .
   Ôàêòîðìíîæåñòâî ïî ýòîé ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷àþò L/I , ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåæ-
íûå êëàññû  [·]I , ïðè÷¼ì, êàê ëåãêî óñòàíîâèòü, [a]I = a t I äëÿ ýëåìåíòà a ∈ L. Êîãäà
ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, èíäåêñ I ó îáîçíà÷åíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè
îïóñêàþò. Òàêæå ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ýêâèâàëåíòíîñòü ∼I ñîõðàíÿåò îáúåäèíåíèÿ

Страницы