Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
5
Abbr
x
y
1
y
2
½
x t y
1
= x t y
2
= ι
x u y
1
= x u y
2
= o
Abbr
⇒ y
1
= y
2
.
¤
N
5
98                                                          Ãëàâà 4. Àëãåáðàè÷åñêèå ðåø¼òêè


   Îòìåòèì, ÷òî êðèòåðèé ìîäóëÿðíîñòè (òåðåìà 4.10) äëÿ àòîìíûõ ðåø¼òîê ñ äîïîëíå-
íèÿìè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, à èìåííî, ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 4.19 (Ìàêëàôëèí). Åñëè àòîìíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè íå ñîäåðæèò â
êà÷åñòâå ïîäðåø¼òêè ïÿòèóãîëüíèê N5 , íàèìåíüøèé è íàèáîëüøèé ýëåìåíòû êîòîðî-
ãî ñîâïàäàþò ñ íóë¼ì è åäèíèöåé ðåø¼òêè, òî îíà ìîäóëÿðíà.

   Äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ, íàïðèìåð, â [12]. Èç òåîðåìû Ìàêëàôëèíà ñëåäóåò, ÷òî àòîì-
íàÿ ðåø¼òêà ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè ìîäóëÿðíà. Áîëåå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
òàêàÿ ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà.
   Ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî â äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêå ñïðàâåäëèâî ïðàâèëî ñîêðàùåíèÿ
Abbr (ñì. òåîðåìó 4.15) ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà 4.20. Åñëè îãðàíè÷åííàÿ ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, òî êàæäûé å¼ ýëåìåíò
èìååò íå áîëåå îäíîãî äîïîëíåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ýëåìåíò x äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè èìååò äâà äîïîëíå-
íèÿ  y1 è y2 . Òîãäà
                         ½
                            x t y1 = x t y2 = ι Abbr
                                                ⇒ y1 = y2 .
                            x u y1 = x u y2 = o
                                                                                                  ¤

    Èç òåîðåìû Áèðêãîôà 4.16 ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà âëîæèìà â
äèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
    Âîïðîñ î ñâÿçè ñâîéñòâ äèñòðèáóòèâíîñòè è íàëè÷èÿ åäèíñòâåííîãî äîïîëíåíèÿ ó
ðåø¼òîê ÿâëÿåòñÿ, êàê îêàçàëîñü, äîñòàòî÷íî ãëóáîêèì è òðóäíûì.  íà÷àëå XX âåêà
ïðè ôîðìóëèðîâêå ñèñòåì àêñèîì äëÿ áóëåâîé àëãåáðû åñòåñòâåííîé áûëà ïîïûòêà îïðå-
äåëèòü å¼ êàê ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Ýòî ñòàëî áû âîçìîæíûì, åñëè
åäèíñòâåííîñòü äîïîëíåíèÿ ó ýëåìåíòîâ ðåø¼òêè âëåêëà áû å¼ äèñòðèáóòèâíîñòü. Â ñâÿçè
ñ ýòèì Ý. Õàíòèíãòîíîì (ñì. ñ. 8) áûëî âûñêàçàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî âñå ðåø¼òêè
ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè äèñòðèáóòèâíû. Âîïðîñ î òîì, âåðíà ëè ýòà ãèïîòåçà è
ñîñòàâëÿë çíàìåíèòóþ ïðîáëåìó Õàíòèíãòîíà.
    Ê êîíöó 30-õ ãîäîâ XX â. áûëî èññëåäîâàíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî êîíêðåòíûõ
ðåø¼òîê ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Âñå îíè îêàçàëèñü äèñòðèáóòèâíûìè, â ñèëó
÷åãî ñïðàâåäëèâîñòü óêàçàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå âûçûâàëà ñîìíåíèé ó
ìàòåìàòèêîâ. Ïîýòîìó áîëüøîé íåîæèäàííîñòüþ áûëî ïîÿâëåíèå â 1945 ã. ðàáîòû àìå-
ðèêàíñêîãî ìàòåìàòèêà Ð. Äèëóîðñà â êîòîðîé áûëà äîêàçàíà

Òåîðåìà 4.21. Âñÿêàÿ ðåø¼òêà ìîæåò áûòü âëîæåíà â ïîäõîäÿùóþ ðåø¼òêó ñ åäèí-
ñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.

    ÷àñòíîñòè, ìîæíî âçÿòü ïÿòèóãîëüíèê N5 , è òîãäà òåîðåìà Äèëóîðñà äàñò íåìîäó-
ëÿðíóþ è, òåì áîëåå, íåäèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè. Òàêèì
îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî3 , ÷òî ñóùåñòâóþò íåäèñòðèáóòèâíûå ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè
äîïîëíåíèÿìè. Îòìåòèì îäíàêî, ÷òî äàííûé îáúåêò â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Äèëó-
îðñà ïîÿâëÿåòñÿ ëèøü â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, è äî ñèõ ïîð íåò
íè îäíîãî ÿâíîãî ïðèìåðà íåäèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
 êëàññå ïîëíûõ ðåø¼òîê ïðîáëåìà Õàíòèíãòîíà äî ñèõ ïîð íå èìååò ðàçðåøåíèÿ.

  3 Dilworth R.P. Lattices with unique complements.  Trans. Amer. Math. Soc., 1945, 57, p. 123-154.
Ñîâðåìåííîå äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû èìååòñÿ â [12].

Страницы