Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x y
o ι
x v y ⇔ x u y
0
= o ⇔ x
0
t y = ι ⇔ x u y = x ⇔ x t y = y;
x v y ⇔ x
0
w y
0
.
x v y ⇔ x u y = x ⇔ x t y = y
v
x t y = y ⇔ (x t y) u y
0
= y u y
0
⇔ x u y
0
= o
x u y
0
= o ⇔ x
0
t y = ι
x v y ⇔ x u y = x ⇔ (x u y)
0
= x
0
⇔ x
0
t y
0
= x
0
⇔ y
0
v x
0
⇔ x
0
w y
0
.
¤
h B, t, u,
0
, o, ι i M
B
M
= F un (M, B) M B
(f t g)(x) = f(x) t g(x ), (f u g)(x) = f(x) u g( x), (f
0
)(x) = (f (x))
0
f, g ∈ F un (M, B) F un (M, B)
f
0
(x) = o f
1
(x) = ι x
M
M n B
n
B
B
B
n
= F un(B
n
, B) B
n
B
B = 2 2
2
n
n
(x, y] (0, 1] 0 < x 6 y 6 1
(0, 1]
100                                                Ãëàâà 5. Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)


Ãëàâà 5
Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)
5.1 Áóëåâû àëãåáðû êàê ðåø¼òêè. Áóëåâû ãîìîìîðôèçìû è ïî-
    äàëãåáðû
Îïðåäåëåíèå 5.1. Äèñòðèáóòèâíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè íàçûâàåòñÿ áóëåâîé àëãåá-
ðîé.

   Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.20 â áóëåâîé àëãåáðå, êàê îíà îïðåäåëåíà âûøå, êàæäûé ýëåìåíò
èìååò îäíî è òîëüêî îäíî äîïîëíåíèå. Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî îáà îïðåäåëåíèÿ áóëåâîé
àëãåáðû  äàííîå òîëüêî ÷òî è íà ñ. 6  ýêâèâàëåíòíû.
Òåîðåìà 5.1. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è y áóëåâîé àëãåáðû (ñ íóëåâûì è åäèíè÷íûì
ýëåìåíòàìè o è ι ñîîòâåòñòâåííî) ñïðàâåäëèâî

               x v y ⇔ x u y 0 = o ⇔ x 0 t y = ι ⇔ x u y = x ⇔ x t y = y;
                                    x v y ⇔ x 0 w y 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ýêâèâàëåíòíîñòè x v y ⇔ x u y = x ⇔ x t y = y ñóòü îïðåäåëåíèÿ
îòíîøåíèÿ v ïî (4.1), îòêóäà

                       x t y = y ⇔ (x t y) u y 0 = y u y 0 ⇔ x u y 0 = o

è x u y 0 = o ⇔ x 0 t y = ι ïî äâîéñòâåííîñòè. Äàëåå

         x v y ⇔ x u y = x ⇔ (x u y) 0 = x 0 ⇔ x 0 t y 0 = x 0 ⇔ y 0 v x 0 ⇔ x 0 w y 0 .

(çàêîí àíòèèçîòîííîñòè äîïîëíåíèÿ ).                                                        ¤

      Ñëåäóþùóþ ïðîñòóþ òåîðåìó ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü h B, t, u, 0 , o, ι i  áóëåâà àëãåáðà è M  ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå
ìíîæåñòâî. Òîãäà ìíîæåñòâî B M = F un (M, B) âñåõ îòîáðàæåíèé èç M â B òàêæå
áóäåò áóëåâîé àëãåáðîé îòíîñèòåëüíî ¾ïîòî÷å÷íûõ¿ îïåðàöèé

          (f t g)(x) = f (x) t g(x),   (f u g)(x) = f (x) u g(x),   (f 0 )(x) = (f (x)) 0

äëÿ ëþáûõ f, g ∈ F un (M, B). Íóë¼ì è åäèíèöåé F un (M, B) áóäóò ïîñòîÿííûå îòîá-
ðàæåíèÿ f0 (x) = o è f1 (x) = ι ñîîòâåòñòâåííî (âåçäå x  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò
M ).

   Âçÿâ â êà÷åñòâå M n -þ äåêàðòîâó ñòåïåíü B n áóëåâîé àëãåáðû B , ïîëó÷èì áóëåâó
           n
àëãåáðó B B = F un(B n , B) âñåõ ôóíêöèé èç B n â B , èãðàþùóþ âàæíóþ ðîëü â òåî-
                                                                            n
ðèè áóëåâûõ ìíîãî÷ëåíîâ. B ÷àñòíîñòè, ïðè B = 2 ïîëó÷àåì áóëåâó àëãåáðó 22 âñåõ
áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ.
   Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî àòîìíûå áóëåâû àëãåáðû. Ïðèâåä¼ì ïðèìåð áó-
ëåâîé àëãåáðû, íå èìåþùèõ àòîìîâ. Ðàññìîòðèì âñå îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà âñåâîç-
ìîæíûõ ïîëóèíòåðâàëîâ âèäà (x, y], ñîäåðæàùèõñÿ â ïðîìåæóòêå (0, 1]: 0 < x 6 y 6 1.
Ýòà ñîâîêóïíîñòü, î÷åâèäíî, óñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðà-
öèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ äî (0, 1], ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áóëåâó

Страницы