Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[ a, b ] L x ∈ [ a, b ] y
L x u y = a x t y = b y
x [ a, b ]
y x [ a, b ]
y ∈ [ a, b ] x y
[ a, b ]
b
b [ e, ι ]
c d a e
[ o, b ] b o
ι
b
c
d
a e
o
h L, t, u,
0
, o, ι i a, b, x
y a v x v b x t y = ι x u y = o y
x
x t (a t (y u b)) = x t ((b u (a t y)) = b u (x t a t y) = b u ι = b
x u (a t (y u b)) = a t (x u y u b) = a t o = a .
a t (y u b) x [ a, b ] ¤
4.5. Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè                                            99


Îïðåäåëåíèå 4.10. Åñëè [ a, b ]  èíòåðâàë ðåø¼òêè L, x ∈ [ a, b ] è ýëåìåíò y ðåø¼òêè
L òàêîâ, ÷òî x u y = a è x t y = b. Òî y íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì
ýëåìåíòà x â èíòåðâàëå [ a, b ].
   Åñëè â íåêîòîðîé ðåø¼òêå âñå èíòåðâàëû ñóòü ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè, òî îíà íàçû-
âàåòñÿ ðåø¼òêîé ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè.

   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè y  îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà x â èíòåðâàëå [ a, b ],
òî y ∈ [ a, b ], è x, â ñâîþ î÷åðåäü, òàêæå áóäåò îòíîñèòåëüíûì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà y
â èíòåðâàëå [ a, b ].
Ïðèìåð 4.14. Ðåø¼òêà, èçîáðàæåííàÿ íèæå (ìû ïîâòîðÿåì ðèñ. 4.7) íå ÿâëÿåòñÿ ðåø¼ò-
êîé ñ äîïîëíåíèÿìè, ò.ê., íàïðèìåð, ýëåìåíò b íå èìååò äîïîëíåíèÿ. B òîæå âðåìÿ ýòî
ðåø¼òêà ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè: äîïîëíåíèÿìè ýëåìåíòà b â èíòåðâàëå [ e, ι ]
ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû c è d, ýëåìåíòû a è e ñëóæàò äðóã äëÿ äðóãà åäèíñòâåííûìè äî-
ïîëíåíèÿìè â èíòåðâàëå [ o, b ]; â òîì æå èíòåðâàëå äîïîëíåíèå b åñòü o.



                                            [[  ι
                                                [
                                      
                                    b [    c      d

                                   [[         
                                            
                               a[          e
                                  [[ 
                                      
                                        o


                  Ðèñ. 4.17: Ðåø¼òêà ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè


Òåîðåìà 4.22 (Äèëóîðñ). Ëþáûå äâå êîíãðóýíöèè íà ðåø¼òêå ñ îòíîñèòåëüíûìè äî-
ïîëíåíèÿìè ïåðåñòàíîâî÷íû.

   Äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü íàéäåíî â [13].
Òåîðåìà 4.23. Ìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêîé ñ îòíîñè-
òåëüíûìè äîïîëíåíèÿìè.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h L, t, u, 0 , o, ι i  ìîäóëÿðíàÿ ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè è a, b, x
è y  òàêèå å¼ ýëåìåíòû, ÷òî a v x v b, x t y = ι è x u y = o, ò.å. y åñòü (êàêîå-òî)
äîïîëíåíèå x. Ñ ó÷¼òîì ìîäóëÿðíîãî çàêîíà ïîëó÷àåì

        x t (a t (y u b)) = x t ((b u (a t y)) = b u (x t a t y) = b u ι = b   è
        x u (a t (y u b)) = a t (x u y u b) = a t o = a .

Ïîýòîìó a t (y u b) åñòü îòíîñèòåëüíîå äîïîëíåíèå x â èíòåðâàëå [ a, b ].              ¤

Страницы