Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L/I
ϕ : L → L/I ϕ(x) = [x]
I
I
I = {o, a, b, c} e ∼
I
d c ∈ I
e t c = d t c e d
I
ι
[ι]
e
c
d
[d]
a
I
b
o
I
1) L 2) L/I
L L/I I = { o, a, b, ab }
L/I ϕ : L → L/I
ϕ(x) = [x]
I
ϕ(x) = I x ∈ I ϕ(c) = ϕ(ac) = [a] ϕ(ι) = [ι] I
L/I
h L, t, u i
x y x u y = o x t y = ι
x
y x x y
o ι
A
X ⊆ A X = A r {X}
2
N
5
a c b b a c
4.5. Ôàêòîððåø¼òêè. Ðåø¼òêè ñ äîïîëíåíèÿìè                                              97


è ïåðåñå÷åíèÿ (ñì. (4.5) ), ò.å. ÿâëÿåòñÿ êîíãðóýíöèåé. Òàêèì îáðàçîì, L/I åñòü ôàêòîð-
ðåø¼òêà (ñ íóë¼ì). Ãîìîìîðôèçì ϕ : L → L/I åñòü îòîáðàæåíèå ϕ(x) = [x]I , èìåþùåå
ñâîèì ÿäðîì äàííûé èäåàë I .
Ïðèìåð 4.12. Ðàññìîòðèì ðåø¼òêó, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 4.16.1). Ìíîæåñòâî
I = {o, a, b, c} ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, å¼ èäåàëîì. Ïðè ýòîì e ∼I d, ïîñêîëüêó äëÿ c ∈ I
ïîëó÷èì e t c = d t c, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíòû e è d íàõîäÿòñÿ â îäíîì êëàññå
ýêâèâàëåíòíîñòè ïî I .


                                       ι                        [ι]



                                    [ e

                                      [[
                              
                            c [           d                     [d]
                               [[     
                                   
                      a[    I      b
                         [[      
                              
                              o                                 I


                             1) L                             2) L/I


       Ðèñ. 4.16: Ðåø¼òêà L è ôàêòîððåø¼òêà L/I ïî èäåàëó I = { o, a, b, ab }

   Ôàêòîððåø¼òêà L/I èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.16.2). Ãîìîìîðôèçì ϕ : L → L/I , åñòü
îòîáðàæåíèå ϕ(x) = [x]I , ò.å. ϕ(x) = I äëÿ x ∈ I , ϕ(c) = ϕ(ac) = [a], ϕ(ι) = [ι]. Èäåàë I
åñòü íóëü ðåø¼òêè L/I .
   Ðåø¼òêà äèñòðèáóòèâíà, åñëè è òîëüêî åñëè êàæäûé å¼ èäåàë ÿäåðíûé. Çàìåòèì, ÷òî
äâà ðàçíûõ ãîìîìîðôèçìà äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè íà îäíó è òó æå ðåø¼òêó ìîãóò
èìåòü ñîâïàäàþùèå ÿäåðíûå èäåàëû.

Îïðåäåëåíèå 4.9. Åñëè â ðåø¼òêå h L, t, u i ñ óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè äëÿ ýëåìåíòà
x ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y òàêîé, ÷òî x u y = o è x t y = ι, òî ïîñëåäíèé íàçûâàåòñÿ
äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà x.
   Ðåø¼òêà íàçûâàåòñÿ ðåø¼òêîé ñ äîïîëíåíèÿìè, åñëè â íåé êàæäûé ýëåìåíò èìååò
õîòÿ áû îäíî äîïîëíåíèå. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ðåø¼òêè îáëàäàåò â òî÷íîñòè îäíèì
äîïîëíåíèåì, òî å¼ íàçûâàþò ðåø¼òêîé ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
   ßñíî, ÷òî åñëè y  äîïîëíåíèå x, òî è x  äîïîëíåíèå y , è ÷òî â ëþáîé îãðàíè÷åííîé
ðåø¼òêå o è ι ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè äðóã äëÿ äðóãà.
Ïðèìåð 4.13.    1. Â ðåø¼òêå àëãåáðû ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A êàæäûé ýëåìåíò
     X ⊆ A èìååò åäèíñòâåííîå äîïîëíåíèå X = A r {X}. Ýòî êëàññè÷åñêèé ïðèìåð
     ðåø¼òêè ñ åäèíñòâåííûìè äîïîëíåíèÿìè.
  2. Â ðåø¼òêå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 4.15.a ýëåìåíò 2 íå èìååò äîïîëíåíèÿ.
  3. Ïÿòèóãîëüíèê N5  ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè. Â íåé (ñì. ðèñ. 4.3) äîïîëíåíèÿìè
     a è c áóäåò ýëåìåíò b, à äîïîëíåíèÿìè b  ýëåìåíòû a è c.

Страницы