Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(0, 1]
(x, x]
(x, y]
ϕ ϕ(o) = o, ϕ(ι) = ι
B a
j
a
: B → 2
j
a
(x) =
½
1, x a,
0, ,
B n B
∼
=
2
n
A ⊂ B
P(A) P(B)
A A B
ϕ
]
(0) ϕ
ϕ
]
(0) = Core(x) x ϕ(x) = 0
B
0
B
B
0
6 B B
0
⊆ B B
0
B
P
n
2
n
P
2
A ⊂ B P(A) P(B)
A P(A) P(B)
ϕ : B
1
→ B
2
ϕ(B
1
) 6 B
2
R x
2
= x
x ∈ R
h R, +, ·, −, 0 i −
x + x = 0 x ∈ R
5.2. Áóëåâû êîëüöà è ñòðóêòóðû                                                     101


àëãåáðó. Åäèíèöåé â íåé áóäåò âåñü èíòåðâàë (0, 1], à íóë¼ì  ïóñòîå ìíîæåñòâî, ïðåä-
ñòàâëÿåìîå â âèäå (x, x]. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà àëãåáðà íå èìååò àòîìîâ: ëþáîé èíòåðâàë
(x, y] ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà ñîäåðæèò â ñåáå íåíóëåâîé ïîäûíòåðâàë òàêîãî æå âèäà.
    Ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: âñÿêàÿ ïîëíàÿ íåàòîìíàÿ áó-
ëåâà àëãåáðà áóäåò ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëíûõ àòîìíîé è áåç-
àòîìíîé áóëåâûõ àëãåáð, êîòîðûå íàçûâàþò äèñêðåòíîé è íåïðåðûâíîé êîìïîíåíòàìè
ñîîòâåòñòâåííî.
    Â ï. 1.3 áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå èçîìîðôèçìà áóëåâûõ àëãåáð. Äàäèì òåïåðü îïðåäåëå-
íèå áóëåâà ãîìîìîðôèçìà.
Îïðåäåëåíèå 5.2. Áóëåâ ãîìîìîðôèçì  ýòî îòîáðàæåíèå îäíîé áóëåâîé àëãåáðû â
äðóãóþ, ñîãëàñîâàííîå ñî âñåìè ïÿòüþ áóëåâûìè îïåðàöèÿìè. Èíúåêòèâíûå áóëåâû ãî-
ìîìîðôèçìû íàçûâàþò áóëåâûìè ìîíîìîðôèçìàìè.

   Èç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî áóëåâ ãîìîìîðôèçì áóäåò áóëåâûì èçîìîðôèçìîì ïðè áè-
åêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî îòîáðàæåíèÿ. ßñíî, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ïðè ëþáîì áóëåâîì
ãîìîìîðôèçìå ϕ îáÿçàòåëüíî èìååò ìåñòî ϕ(o) = o, ϕ(ι) = ι.
Ïðèìåð 5.1.  1. Ïóñòü B  àòîìíàÿ áóëåâà àëãåáðà è a  å¼ àòîì. Òîãäà îòîáðàæåíèå
    ja : B → 2 òàêîå, ÷òî            ½
                                       1, x ñîäåðæèò a,
                            ja (x) =
                                       0, èíà÷å,
     åñòü ãîìîìîðôèçì.
  2. Èç òåîðåìû 1.4 (Ñòîóíà äëÿ êîíå÷íûõ áóëåâûõ àëãåáð) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëü-
     íîé êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû B , ñîäåðæàùåé n àòîìîâ ñïðàâåäëèâî B ∼  = 2n .
     Ïîíÿòíî, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ðåø¼òî÷íûé ãîìîìîðôèçì îäíîé áóëåâîé àëãåáðû â äðó-
ãóþ ìîæåò íå áûòü áóëåâûì ãîìîìîðôèçìîì. Íàïðèìåð, åñëè A ⊂ B , òî åñòåñòâåííîå
âëîæåíèå P(A) â P(B) ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òî÷íûì ìîíîìîðôèçìîì, íî íå áóëåâûì ãîìîìîð-
ôèçìîì, ò.ê. äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîäìíîæåñòâà A åãî äîïîëíåíèÿ â A è B ðàçëè÷íû.
     Ïðîîáðàç íóëÿ ϕ ] (0) áóëåâà ãîìîìîðôèçìà ϕ íàçûâàþò åãî ÿäðîì (ÿñíî, ÷òî
ϕ ] (0) = Core(x) äëÿ x òàêîãî, ÷òî ϕ(x) = 0 ).
Îïðåäåëåíèå 5.3. Áóëåâà àëãåáðà B 0 íàçûâàåòñÿ ïîäàëãåáðîé áóëåâîé àëãåáðû B (ñèì-
âîëè÷åñêè B 0 6 B ), åñëè B 0 ⊆ B è íà B 0 óñòîé÷èâû ñóæåíèÿ âñåõ îïåðàöèé B .

   Ïîíÿòíî, ÷òî áóëåâà àëãåáðà è å¼ ïîäàëãåáðà èìåþò îáùèå íóëè è åäèíèöû.
Ïðèìåð 5.2.   1. Áóëåâà àëãåáðà P2n ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ
     ïîäàëãåáðîé àëãåáðû P2 âñåõ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïðèìåð 3).
  2. Ïóñòü A ⊂ B . Òîãäà P(A)    P(B), ïîñêîëüêó ýòè áóëåâû àëãåáðû èìåþò, íàïðè-
     ìåð, ðàçíûå åäèíè÷íûå ýëåìåíòû (÷òî âëå÷¼ò è íåñîâïàäåíèå äîïîëíåíèé äàííîãî
     ïîäìíîæåñòâà A â P(A) è â P(B) ).
    Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé è ðàíåå äîêàçàííûõ ôàêòîâ ñëåäóåò, ÷òî åñëè
ϕ : B1 → B2  áóëåâ ãîìîìîðôèçì, òî ϕ(B1 ) 6 B2 .


5.2 Áóëåâû êîëüöà è ñòðóêòóðû
Îïðåäåëåíèå 5.4. Àññîöèàòèâíîå êîëüöî R, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì x2 = x äëÿ ëþáîãî
ñâîåãî ýëåìåíòà x ∈ R íàçûâàåòñÿ áóëåâûì êîëüöîì.
Òåîðåìà 5.3. Áóëåâî êîëüöî h R, +, ·, −, 0 i, ãäå −  óíàðíàÿ îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ïðîòè-
âîïîëîæíîãî ýëåìåíòà, êîììóòàòèâíî è x + x = 0 äëÿ âñåõ x ∈ R.

Страницы