Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t u x u x = x
x + x = 0
· +
x t x = x + x + xx = x
(x t y) u x = (x + y + xy)x = xx + xy + xyx =
= xx + xy + xy = x .
x t (x u y) = x + x · y + x · (x · y) = x + x · y + x · y = x .
R x · 1 = x x · 0 = 0 x ∈ R
R
xx
0
= x(1 + x) = x · 1 + xx = x + x = 0
x t x
0
= x t (1 + x) = x + 1 + x + x(1 + x) = x + 1 + x + x + x = 1
R
(x t y) u y = (x + y + x u y) · z = x · z + y · z + (x u z) · (y u z) = (x u z) t (x u z)
¤
B
∗∗
= B R
∗∗
= R
v
h B, t, u,
0
, v, o, ι i h B, t, u,
0
, o, ι i
a
x a
a u x = a a u x = o a
B
b B a
a u b = a 6= b b ¤
5.2. Áóëåâû êîëüöà è ñòðóêòóðû                                                                 103


Äîêàçàòåëüñòâî. Àññîöèàòèâíîñòü îïåðàöèé t è u, à òàêæå ðàâåíñòâî x u x = x
ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Êîììóòàòèâíîñòü áóëåâà êîëüöà, óñòàíîâëåííàÿ òåîðå-
ìîé 5.4, îáåñïå÷èâàåò êîììóòàòèâíîñòü ýòèõ îïåðàöèé. Êðîìå òîãî, x + x = 0 ïî
òåîðåìå 5.3. Îïóñêàÿ ñèìâîë · è ñ÷èòàÿ åãî ïðèîðèòåò âûøå ïðèîðèòåòà +, ïîëó÷èì
x t x = x + x + xx = x.
   Óñòàíîâèì ñïðàâåäëèâîñòü çàêîíîâ ïîãëîùåíèÿ:

                  (x t y) u x = (x + y + xy)x = xx + xy + xyx =
                              = xx + xy + xy = x .
                  x t (x u y) = x + x · y + x · (x · y) = x + x · y + x · y = x .

Òàêèì îáðàçîì, R  ðåø¼òêà. ßñíî, ÷òî x · 1 = x è x · 0 = 0 äëÿ âñåõ x ∈ R, ò.å.
ðåø¼òêà R îáëàäàåò óíèâåðñàëüíûìè ãðàíÿìè. Èç ðàâåíñòâ

              xx 0 = x(1 + x) = x · 1 + xx = x + x = 0 è
            x t x 0 = x t (1 + x) = x + 1 + x + x(1 + x) = x + 1 + x + x + x = 1

âûòåêàåò, ÷òî R  ðåø¼òêà ñ äîïîëíåíèÿìè. Óäîñòîâåðèìñÿ â å¼ äèñòðèáóòèâíîñòè. Äåé-
ñòâèòåëüíî ðàâåíñòâà

   (x t y) u y = (x + y + x u y) · z = x · z + y · z + (x u z) · (y u z) = (x u z) t (x u z)

äîêàçûâàþò ïåðâûé äèñòðèáóòèâíûé çàêîí, à âòîðîé äîêàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííî.                      ¤

   Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå áóëåâî êîëüöî ñ åäèíèöåé ìîæåò áûòü çàäàíî ñ ïîìîùüþ áó-
ëåâîé àëãåáðû è íàîáîðîò. Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâî
Ñëåäñòâèå. B∗∗ = B è R∗∗ = R.
   Òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàåòñÿ ò.í. ñòîóíîâñêàÿ äâîéñòâåííîñòü ìåæäó áóëåâûìè àë-
ãåáðàìè è áóëåâûìè êîëüöàìè.
   Ââîäÿ îòíîøåíèå v ñî ñâîéñòâàìè (4.1) â ñèãíàòóðó ÀÑ êàê îñíîâíîå, îïðåäåëÿþò
áóëåâó ñòðóêòóðó h B, t, u, 0 , v, o, ι i, ãäå å¼ ðåäóêò h B, t, u, 0 , o, ι i  áóëåâà àëãåá-
ðà. Äëÿ ìíîãèõ ïðèëîæåíèé óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü íå áóëåâû àëãåáðû, à ñðàçó áóëåâû
ñòðóêòóðû1 .
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 5.6. Ýëåìåíò áóëåâîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ àòîìîì, åñëè è òîëüêî åñëè îí íåïî-
ñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà íóë¼ì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè ýëåìåíò a íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò çà íóë¼ì áó-
ëåâîé àëãåáðû, òî ëþáîé å¼ äðóãîé ýëåìåíò x ëèáî ñîäåðæèò ýëåìåíò a, ëèáî íåñðàâíèì
ñ íèì.  ïåðâîì ñëó÷àå a u x = a, à âî âòîðîì  a u x = o, ò.å. a óäîâëåòâîðÿåò
îïðåäåëåíèþ àòîìà áóëåâîé àëãåáðû B .
   Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè b  ýëåìåíò B , ñòðîãî ñîäåðæàùèé íåíóëåâîé ýëåìåíò a, òî
a u b = a 6= b è b íå ÿâëÿåòñÿ àòîìîì.                                             ¤

   Â áóëåâîé ñòðóêòóðå ëåãêî äîêàçûâàþòñÿ ëåììà 1.4 èç ï. 1.4.
   Ëåììà 1.4 óòâåðæäàåò, ÷òî âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû ìî-
æåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñîäåðæàùèõñÿ â í¼ì àòîìîâ. Äåéñòâèòåëüíî,
äëÿ êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû êàê äèñòðèáóòèâíîé ðåø¼òêè ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå
  1   [18] äëÿ áóëåâîé ñòðóêòóðû ïðèâåäåíà (èçáûòî÷íàÿ) ñèñòåìà èç 37 àêñèîì.

Страницы