Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y x ∈ [ a, b ]
[ a, b ]
y = a t (b u x
0
) = b u (a t x
0
) .
[ a, b ], a @ b
˘ h [ a, b ], t, u,˘, a, b i
a = o, b = ι
h P(A), ∪, ∩,
−
, ⊆, ∅, A i
⊆
I B
a
B a
x ∈ I b ∈ B x u b ∈ I I B I P B
F B
a B a
x ∈ F b ∈ B x t b ∈ F
I F
I F B
x ∈ I ⇔ x
O
⊆ I x ∈ F ⇔ x
M
⊆ F
½
x ∈ I
x
0
∈ I
⇒ I = B
½
x ∈ F
x
0
∈ F
⇒ F = B
x t y ∈ I ⇒
½
x ∈ I
y ∈ I
x u y ∈ F ⇒
½
x ∈ F
y ∈ F
{ x t y | x ∈ I, y ∈ I } P B { x u y | x ∈ F, y ∈ F }
B
I I
1
B
x ∈ I z ∈ x
O
z v x
O
z = x u z ∈ I
ι = x t x
0
∈ I
B = ι
O
⊂ I I = B
x = x u (x t y) ∈ I y = y u (x t y) ∈ I
104                                                Ãëàâà 5. Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)


ëåììû 4.2 î ïðåäñòàâëåíèè êàæäîãî íåíóëåâîãî ýëåìåíòà â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåðàçëî-
æèìûõ ýëåìåíòîâ, à òàêîâûìè â áóëåâîé àëãåáðå ÿâëÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî àòîìû.
   Ïîñêîëüêó áóëåâà àëãåáðà ÿâëÿåòñÿ ìîäóëÿðíîé ðåø¼òêîé ñ äîïîëíåíèÿìè, òî äëÿ íå¼
ñïðàâåäëèâà òåîðåìà 4.23, ò.å. áóëåâà ñòðóêòóðà åñòü ðåø¼òêà ñ îòíîñèòåëüíûìè äîïîëíå-
íèÿìè, è â íåé åäèíñòâåííîå äîïîëíåíèå y ýëåìåíòà x ∈ [ a, b ] îòíîñèòåëüíî íåïóñòîãî
èíòåðâàëà [ a, b ] îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå

                              y = a t (b u x 0 ) = b u (a t x 0 ) .

Åñëè íà èíòåðâàëå [ a, b ], a @ b ïî äàííîé ôîðìóëå îïðåäåëèòü îïåðàöèþ âçÿòèÿ äî-
ïîëíåíèÿ ˘, òî ÀÑ h [ a, b ], t, u,˘, a, b i îêàçûâàåòñÿ áóëåâîé àëãåáðîé. Îòìåòèì, ÷òî ïî-
ëó÷åííàÿ áóëåâà àëãåáðà íå áóäåò (çà èñêëþ÷åíèåì ñîáñòâåííîãî ñëó÷àÿ a = o, b = ι )
ÿâëÿòüñÿ ïîäàëãåáðîé èñõîäíîé àëãåáðû ò.ê. ýòè àëãåáðû èìåþò, íàïðèìåð, ðàçëè÷íûå
óíèâåðñàëüíûå ãðàíè.
   Òàêæå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþò áóëåâó ñòðóêòóðó ìíîæåñòâ h P(A), ∪, ∩, − , ⊆, ∅, A i
äîïîëíÿÿ òîòàëüíóþ àëãåáðó ìíîæåñòâ îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ ⊆.


5.3 Èäåàëû è ôèëüòðû â áóëåâîé àëãåáðå
    Èäåàëîì I áóëåâîé àëãåáðû B íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå å¼ ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå óñòîé-
÷èâî îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ è âìåñòå ñ êàæäûì ñâîèì ýëåìåíòîì a ñîäåðæèò âñå
ýëåìåíòû B , ñîäåðæàùèåñÿ â a. ×àñòî ïîñëåäíåå óñëîâèå çàìåíÿþò ðàâíîñèëüíûì: åñëè
x ∈ I è b ∈ B , òî x u b ∈ I . Åñëè I  èäåàë áóëåâîé àëãåáðû B , òî ïèøóò I P B .
    Äâîéñòâåííî, ôèëüòðîì F áóëåâîé àëãåáðû B íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå å¼ ïîäìíîæå-
ñòâî, êîòîðîå óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ è âìåñòå ñ êàæäûì ñâîèì ýëåìåíòîì
a ñîäåðæèò âñå ýëåìåíòû B , ñîäåðæàùèå a. Äâîéñòâåííî èäåàëàì, ÷àñòî ïîñëåäíåå óñëî-
âèå çàìåíÿþò ðàâíîñèëüíûì: åñëè x ∈ F è b ∈ B , òî x t b ∈ F .
    Òàêèì îáðàçîì, èäåàëû I [ ôèëüòðû F ] áóëåâîé àëãåáðû  ýòî å¼ ðåø¼òî÷íûå èäåàëû
[ ôèëüòðû ]. Ïîýòîìó ýòîãî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå

Óòâåðæäåíèå 5.1 (Ñâîéñòâà áóëåâûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ). Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ
èäåàëà I è ôèëüòðà F áóëåâîé àëãåáðû B ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ.
      1)   ½∈ I ⇔ x ⊆ I,
           x           O
                                             ½∈ F ⇔ x ⊆ F ;
                                             x            M

              x∈I                               x∈F
      2)               ⇒ I = B,                           ⇒ F = B;
              x0 ∈ I      ½                     x0 ∈ F      ½
                             x∈I                               x∈F
      3)   xty ∈I ⇒                 ,        xuy ∈F ⇒                 ;
                             y∈I                               y∈F
      4)   { x t y | x ∈ I, y ∈ I } P B ,    { x u y | x ∈ F, y ∈ F } 
                                                       ôèëüòð B .

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó äâîéñòâåííîñòè äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäå-
íèé îòíîñèòåëüíî èäåàëîâ. Äàëåå I è I1  ïðîèçâîëüíûå èäåàëû áóëåâîé àëãåáðû B .

 1) Åñëè x ∈ I è z ∈ xO , òîãäà z v xO è ïî îïðåäåëåíèþ èäåàëà z = x u z ∈ I .
    Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
 2) Ïî îïðåäåëåíèþ èäåàëà ι = x t x 0 ∈ I , ïîýòîìó ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó
    B = ιO ⊂ I , ò.å. I = B .
 3)    x = x u (x t y) ∈ I è, àíàëîãè÷íî, y = y u (x t y) ∈ I .

Страницы