Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

J = { x t y | x ∈ I, y ∈ I
1
} x
1
t y
1
∈ J x
2
t y
2
∈ J x
1
, x
2
∈ I
y
1
, y
2
∈ I
1
x
1
t x
2
∈ I y
1
t y
2
∈ I
1
(x
1
t y
1
) t (x
2
t y
2
) = (x
1
t x
2
) t (y
1
t y
2
) ∈ J .
x t y ∈ J z ∈ B x ∈ I y ∈ I
1
x u z ∈ I y u z ∈ I
1
(x t y) u z = (x u z) t (y u z) ∈ J .
¤
P(A) A
B ⊆ A A
B P(A) B P(A)
A
P
0
(A) A
P(A) A
P(A)
B X ⊆ B
X
0
= { x
0
| x ∈ X } B X B B
X B
∼ B
x ∼ y ⇒ x
0
∼ y
0
,
∼ B
Con B
M
B
O
B
∼ = ∼
I
B I = [ o ]
o I B
a ∼
I
b ⇔
∃
I
x (a t x = b t x) .
I P B ∼
I
B
B [ o ] = I
a b B I P B
a ∼
I
b ⇔ (a u b
0
) t (a
0
u b) ∈ I .
5.3. Èäåàëû è ôèëüòðû â áóëåâîé àëãåáðå                                                105


 4) Ïóñòü J = { x t y | x ∈ I, y ∈ I1 }. Åñëè x1 t y1 ∈ J è x2 t y2 ∈ J , ãäå x1 , x2 ∈ I è
    y1 , y2 ∈ I1 , òî x1 t x2 ∈ I è y1 t y2 ∈ I1 . Ñëåäîâàòåëüíî,

                         (x1 t y1 ) t (x2 t y2 ) = (x1 t x2 ) t (y1 t y2 ) ∈ J .

       Äàëåå, ïóñòü x t y ∈ J è z ∈ B , ãäå x ∈ I è y ∈ I1 . Òîãäà x u z ∈ I è y u z ∈ I1 .
       Ñëåäîâàòåëüíî,
                              (x t y) u z = (x u z) t (y u z) ∈ J .                     ¤

   Íà èäåàëû è ôèëüòðû áóëåâîé àëãåáðû ïåðåíîñÿòñÿ ïîíÿòèÿ êîíå÷íîïîðîæä¼ííûõ,
ñîáñòâåííûõ, íåñîáñòâåííûõ è ãëàâíûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ (ñì. ï. 4.2). Òàê, èäåàëû è
ôèëüòðû, îïèñàííûå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå â ï. 1  ãëàâíûå, à â ï. 2  íå ãëàâíûå è
äàæå íå êîíå÷íîïîðîæä¼ííûå. Ïîñêîëüêó áóëåâà àëãåáðà åñòü ðåø¼òêà, òî â êîíå÷íîé
áóëåâîé àëãåáðå âñå èäåàëû è ôèëüòðû  ãëàâíûå.
Ïðèìåð 5.3. Ðàññìîòðèì òîòàëüíóþ àëãåáðó ìíîæåñòâ P(A) íàä ìíîæåñòâîì A.

     1. Ïóñòü B ⊆ A. Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A, ñîäåðæàùèõñÿ
        â B åñòü èäåàë áóëåâîé àëãåáðû P(A), à ñîäåðæàùèõ B åñòü ôèëüòð P(A). Ýòî 
        ãëàâíûå èäåàëû è ôèëüòðû â áåñêîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðå.
     2. Ïðèâåä¼ì ïðèìåð íåãëàâíûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ. Ïóñòü A  áåñêîíå÷íîå ìíî-
        æåñòâî. Ñîâîêóïíîñòü P0 (A) âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ A åñòü èäåàë áóëåâîé
        àëãåáðû P(A), à ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ, èìåþùèõ êîíå÷íîå äîïîëíåíèå äî A
        åñòü ôèëüòð P(A). Ôèëüòð óêàçàííîãî âèäà íàçûâàþò ôèëüòðîì Ôðåøå.

     Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ïðîñòàÿ

Òåîðåìà 5.7. Ïóñòü B  áóëåâà àëãåáðà è X        ⊆ B . Òîãäà ìíîæåñòâî
X = { x | x ∈ X } áóäåò èäåàëîì B , åñëè X  ôèëüòð B è ôèëüòðîì B , åñëè
 0         0

X  èäåàë B .

  Èäåàëû [ ôèëüòðû ] óêàçàííîãî âèäà íàçûâàþòñÿ ïðèñîåäèí¼ííûìè ê ñîîòâåòñòâóþ-
ùèì ôèëüòðàì [ èäåàëàì ].
  Ïóñòü ∼  êîíãðóýíöèÿ íà áóëåâîé àëãåáðå B êàê íà ðåø¼òêå. Åñëè ïðè ýòîì åù¼ è

                                      x ∼ y ⇒ x0 ∼ y0,

òî ∼  êîíãðóýíöèÿ íà äàííîé áóëåâîé àëãåáðå. Êîíãðóýíöèè áóëåâîé àëãåáðû B îá-
ðàçóþò ïîëíóþ äèñòðèáóòèâíóþ ðåø¼òêó Con B . ż íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ
òîæäåñòâåííàÿ êîíãðóýíöèÿ MB , à íàèáîëüøèì  àìîðôíàÿ êîíãðóýíöèÿ OB .
   Âàæíûì îòëè÷àåì èäåàëîâ áóëåâîé àëãåáðû îò ðåø¼òî÷íûõ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè íàõî-
äÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ êîíãðóýíöèÿìè áóëåâîé àëãåáðû. Èìåííî,
åñëè ∼ = ∼I  êîíãðóýíöèÿ íà áóëåâîé àëãåáðå B è I = [ o ]  êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè,
ñîäåðæàùèé ýëåìåíò o, òî I  èäåàë B , ïðè÷¼ì âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

                               a ∼I b ⇔ ∃ x (a t x = b t x) .                         (5.1)
                                            I

È îáðàòíî, åñëè I P B , òî îòíîøåíèå ∼I íà B , îïðåäåë¼ííîå óñëîâèåì (5.1), áóäåò
êîíãðóýíöèåé íà B , ïðè÷¼ì [ o ] = I .

Óòâåðæäåíèå 5.2. Ïóñòü a è b  ýëåìåíòû áóëåâîé àëãåáðû B è I P B .
                              a ∼I b ⇔ (a u b 0 ) t (a 0 u b) ∈ I .

Страницы