Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(⇒) x ∈ I a t x = b t x
b
0
(atx)ub
0
= (aub
0
)t(xub
0
) = xub
0
,
a u b
0
v x u b
0
∈ I a u b
0
∈ I a
0
u b ∈ I
(a u b
0
) t (a
0
u b) ∈ I
(⇐) (aub
0
)t(a
0
ub) = z ∈ I aub
0
v z aub
0
v z aub
0
= x ∈ I
a u b
0
= y ∈ I b
a a t b = x t b a t b = y t b
x t b = y t a ¤
∼ B I
B/ ∼ B/I
B/a
O
∼
=
b
[ o, a
0
]
ϕ B B
0
x, y ∈ ϕ
]
(0)
ϕ
]
(0)
ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y) = o t o = o b v x ϕ(b) v ϕ(x)
x t y ∈ ϕ
]
(0) b ∈ ϕ
]
(0) ϕ
]
(0) P B ¤
x x
M
x
O
I B
B/I
∼
=
b
2
B I J I ⊆ J
{ [j]
I
| j ∈ J } [j]
I
J
I B/I I = J
B/I
∼
=
b
2 I ¤
B
x ∈ B x x
0
B F
∀ x ( x ∈ F ∨ x
0
∈ F ) .
106                                                   Ãëàâà 5. Áóëåâû àëãåáðû (ïðîäîëæåíèå)


Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒) Ïóñòü ñóùåñòâóåò x ∈ I òàêîé, ÷òî a t x = b t x. Òîãäà, áåðÿ
ïåðåñå÷åíèÿ ñ b 0 îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì (atx)ub 0 = (aub 0 )t(xub 0 ) = xub 0 ,
ò.å. a u b 0 v x u b 0 ∈ I è a u b 0 ∈ I . Àíàëîãè÷íî a 0 u b ∈ I è, ïî ñâîéñòâó èäåàëà,
(a u b 0 ) t (a 0 u b) ∈ I .
    (⇐) Ïóñòü (a u b 0 ) t (a 0 u b) = z ∈ I . Òîãäà a u b 0 v z è a u b 0 v z , ò.å. a u b 0 = x ∈ I
è a u b 0 = y ∈ I . Îòêóäà, áåðÿ îáúåäèíåíèÿ ñ b îáåèõ ÷àñòåé ïåðâîãî ðàâåíñòâà è ñ
a  âòîðîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì a t b = x t b è a t b = y t b ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà
x t b = y t a.                                                                                      ¤

   Åñëè ∼  êîíãðóýíöèÿ íà áóëåâîé àëãåáðå B , à I  èäåàë, ñîîòâåòñòâóþùèé äàí-
íîé êîíãðóýíöèè â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå, òî ôàêòîðàëãåáðó B/ ∼ îáîçíà÷àþò B/I .
Ê ïðèìåðó, B/aO ∼=b [ o, a 0 ].
   Èäåàëû è ôèëüòðû áóëåâîé àëãåáðû ñâÿçàíû ñ áóëåâûìè ãîìîìîðôèçìàìè.

Óòâåðæäåíèå 5.3. ßäðî áóëåâà ãîìîìîðôèçìà åñòü èäåàë. Ïðîîáðàç åäèíèöû áóëåâà
ãîìîìîðôèçìà åñòü ôèëüòð.

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äëÿ áóëåâûõ àëãåáð äîñòàòî÷íî äîêà-
çàòü òîëüêî óòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíî èäåàëîâ.
   Ïóñòü ϕ  ãîìîìîðôèçì èç áóëåâîé àëãåáðû B â áóëåâó àëãåáðó B 0 , x, y ∈ ϕ ] (0).
Ïðåæäå âñåãî, ïî ñäåëàííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ÿäðî ϕ ] (0) íåïóñòî. Êðîìå òîãî,
ϕ(x t y) = ϕ(x) t ϕ(y) = o t o = o. Äàëåå, åñëè b v x, òî ϕ(b) v ϕ(x). Ïîýòîìó
x t y ∈ ϕ ] (0) è b ∈ ϕ ] (0). Òàêèì îáðàçîì, ϕ ] (0) P B .                       ¤

   Ìàêñèìàëüíûå ôèëüòðû áóëåâûõ àëãåáð íàçûâàþò óëüòðàôèëüòðàìè 2 .
   Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè x  àòîì [ êîàòîì ] êîíå÷íîé áóëåâîé àëãåáðû, òî xM [ xO ]  å¼ ìàê-
ñèìàëüíûé ôèëüòð [ èäåàë ].  êîíå÷íûõ áóëåâûõ àëãåáðàõ óëüòðàôèëüòðû äðóãèõ âèäîâ,
î÷åâèäíî, îòñóòñòâóþò. Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ â áåñêîíå÷íîé
áóëåâîé àëãåáðå ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.7 î ñîáñòâåííûõ èäåàëàõ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé.

Òåîðåìà 5.8 (Òàðñêèé). Èäåàë I áóëåâîé àëãåáðû B ìàêñèìàëåí, åñëè è òîëüêî åñëè
B/I ∼
    =b 2.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B  áóëåâà àëãåáðà, à I è J  äâà å¼ èäåàëà, ïðè÷¼ì I ⊆ J .
Ðàññìîòðèì { [j]I | j ∈ J }  ìíîæåñòâî ñìåæíûõ êëàññîâ [j]I ýëåìåíòîâ èç J ïî
èäåàëó I . Ýòî  èäåàë B/I è îí áóäåò íóëåâûì òîëüêî ïðè I = J . Ñëåäîâàòåëüíî,
óñëîâèå B/I ∼=b 2 ýêâèâàëåíòíî ìàêñèìàëüíîñòè èäåàëà I .                       ¤



Òåîðåìà 5.9 (Ñâîéñòâà ìàêñèìàëüíûõ áóëåâûõ èäåàëîâ è ôèëüòðîâ).
  1. Êàæäûé ñîáñòâåííûé èäåàë [ ôèëüòð ] áóëåâîé àëãåáðû ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì
     ìàêñèìàëüíîì èäåàëå [ óëüòðàôèëüòðå ] 3 .
  2. Èäåàë [ ôèëüòð ] áóëåâîé àëãåáðû B ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì, åñëè è òîëüêî åñëè
     äëÿ ëþáîãî x ∈ B â í¼ì ñîäåðæèòñÿ â òî÷íîñòè îäèí èç ýëåìåíòîâ x è x 0 .
  2 Òî÷íåå,   óëüòðàôèëüòð áóëåâîé àëãåáðû B  ýòî å¼ ñîáñòâåííûé ôèëüòð F , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëî-
âèþ
                                        ∀x (x ∈ F ∨ x0 ∈ F ) .
Îäíàêî, ïîíÿòèÿ ¾óëüòðàôèëüòð¿ è ¾ìàêñèìàëüíûé ôèëüòð¿ (êàê ñîáñòâåííûé ôèëüòð, íå ëåæàùèé íè
â êàêîì äðóãîì ñîáñòâåííîì ôèëüòðå) îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè (ñì. íèæå). Ýòî ïîçâîëÿåò ìàêñè-
ìàëüíûå ôèëüòðû áóëåâûõ àëãåáð íàçûâàòü óëüòðàôèëüòðàìè, ÷òî òðàäèöèîííî è äåëàåòñÿ.
   3 Äàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ ôèëüòðîâ ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé îá óëüòðàôèëüòðàõ áóëåâîé àëãåáðû.

Страницы