Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I F B
x, y ∈ B (x t y) ∈ I (x u y) ∈ F
x y I F
I
h B, t, u,
0
, o, ι i x
x
0
x t x
0
= ι ∈ I ⇒ I = B I
I B x ∈ B I x x
0
I
1
= { xti | i ∈ I } I
1
I ⊆ I
1
I
(⇒) I B B/I
∼
=
b
2 = { o, ι }
x ∈ B [x]
I
o ι
x ∈ I x
0
∈ I
(⇐) B
I P B I ⊂ I
1
P B x ∈ I
1
r I x
0
∈ I
1
x t x
0
= ι ∈ I
1
I
1
= B I
¤
h P(Z), ∪, ∩,
−
, ∅, Z i Z
' P(Z) A ' B
A B '
P(Z)/'
P(Z)
[∅]
Z Z
[Z]
A, B ∈ P(Z) A ' A
0
B ' B
0
A ∪ B ' A
0
∪ B
0
A ∩ B ' A
0
∩ B
0
A ' A
0
h P(Z)/', ∪, ∩,
−
, [∅], [Z] i
[∅] P(Z)/ '
[∅] P(Z)/'
F B
(x t y) ∈ F ⇒
·
x ∈ F
y ∈ F
5.3. Èäåàëû è ôèëüòðû â áóëåâîé àëãåáðå                                                  107


  3. Ñîáñòâåííûé èäåàë I [ ôèëüòð F ] áóëåâîé àëãåáðû B áóäåò ìàêñèìàëüíûì, åñëè
     è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B èç óñëîâèÿ (x t y) ∈ I [ (x u y) ∈ F ] ñëåäóåò,
     ÷òî ëèáî x, ëèáî y ïðèíàäëåæèò I [ F ] 4 .
  4. Ñîáñòâåííûé èäåàë [ ôèëüòð ] áóëåâîé àëãåáðû ñîâïàäàåò ñ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ ìàê-
     ñèìàëüíûõ èäåàëîâ [ óëüòðàôèëüòðîâ ], â êîòîðûõ îí ñîäåðæèòñÿ.
  5. Ìàêñèìàëüíûé èäåàë [ ôèëüòð ] áóëåâîé àëãåáðû ñîäåðæèò âñå àòîìû [ êîàòîìû ]
     áóëåâîé àëãåáðû, êðîìå, áûòü ìîæåò, îäíîãî.

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó äâîéñòâåííîñòè äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäå-
íèé îòíîñèòåëüíî èäåàëîâ.

  1. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ èäåàëîâ ñîâïàäàåò ñ ïðèâåä¼ííûì äëÿ òåîðåìû 4.7 î ñîáñòâåí-
     íûõ èäåàëàõ ðåø¼òêè ñ åäèíèöåé.
  2. Äîêàæåì äàííîå óòâåðæäåíèå äëÿ èäåàëîâ. Ïóñòü I  ìàêñèìàëüíûé èäåàë áóëå-
     âîé àëãåáðû h B, t, u, 0 , o, ι i. Îí íå ìîæåò ñîäåðæàòü íè îäíîé ïàðû ýëåìåíòîâ x
     è x 0 , ò.ê. èíà÷å x t x 0 = ι ∈ I ⇒ I = B , ò.å. I  íåñîáñòâåííûé èäåàë. Ïðîòèâî-
     ðå÷èå.
     Ïóñòü òåïåðü èäåàë I áóëåâîé àëãåáðû B , x ∈ B è I íå ñîäåðæèò íè x, íè x 0 .
     Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî I1 = { x t i | i ∈ I }. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî I1  èäåàë è I ⊆ I1 ,
     ò.å. I íå ìàêñèìàëåí.
  3. (⇒) Ïóñòü èäåàë I áóëåâîé àëãåáðû B ìàêñèìàëåí, ò.å. B/I ∼    =b 2 = { o, ι }. Òîãäà
     äëÿ ëþáîãî x ∈ B åãî ñìåæíûé êëàññ [x]I åñòü ëèáî o, ëèáî ι.  ïåðâîì ñëó÷àå
     x ∈ I , âî âòîðîì  x 0 ∈ I .
     (⇐) Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà áóëåâîé àëãåáðû B ëèáî îí, ëèáî åãî äîïîëíåíèå
     ñîäåðæèòñÿ â èäåàëå I P B . Ïóñòü I ⊂ I1 P B . Òîãäà äëÿ x ∈ I1 r I èìååì x 0 ∈ I1 ,
     îòêóäà x t x 0 = ι ∈ I1 , ò.å. I1 = B è èäåàë I  ìàêñèìàëüíûé.

   Äîêàçàòåëüñòâî îñòàëüíûõ óòâåðæäåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [8], [11], [13].          ¤

    Ñ ïîìîùüþ ôàêòîðèçàöèè ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû áåçàòîìíûå áóëåâû àëãåáðû. Ðàñ-
ñìîòðèì h P(Z), ∪, ∩, − , ∅, Z i  òîòàëüíóþ àëãåáðó íàä ìíîæåñòâîì öåëûõ ÷èñåë Z.
Îïðåäåëèì îòíîøåíèå ' íàä ýëåìåíòàìè P(Z): áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî A ' B , åñëè ñèììåò-
ðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ìíîæåñòâ A è B êîíå÷íà. ßñíî, ÷òî ' åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíò-
íîñòè. Ïîýòîìó ìîæíî îáðàçîâàòü ôàêòîðìíîæåñòâî P(Z)/'. Âñå êîíå÷íûå (âêëþ÷àÿ
ïóñòîå) ïîäìíîæåñòâà P(Z) áóäóò, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíûìè. Îáîçíà÷èì ýòîò êëàññ ýê-
âèâàëåíòíîñòè [∅]. Òàêæå áóäóò ýêâèâàëåíòíûìè âñå ïîäìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë, èìåþ-
ùèõ êîíå÷íûå äîïîëíåíèÿ äî Z, âêëþ÷àÿ ñàìî Z; ýòîò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷èì
[Z]. Äàëåå, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ââåäåííîå îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ñòàáèëüíûì îò-
íîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ îïåðàöèé, ò.å. äëÿ ëþáûõ A, B ∈ P(Z) èç A ' A 0
è B ' B 0 ñëåäóåò A ∪ B ' A 0 ∪ B 0 , A ∩ B ' A 0 ∩ B 0 è A ' A 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÀÑ
h P(Z)/ ', ∪, ∩, − , [∅], [Z] i áóäåò ÿâëÿòüñÿ áóëåâîé àëãåáðîé.
    Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äàííàÿ áóëåâà àëãåáðà íå èìååò àòîìîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé
îòëè÷íûé îò [∅] ýëåìåíò P(Z)/ ' åñòü êëàññ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Àòîì  ýëåìåíò,
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé çà [∅], à òàêîâûå îòñóòñòâóþò â P(Z)/ ' : äåéñòâèòåëüíî, â
  4 Ñîáñòâåííûé   ôèëüòð F áóëåâîé àëãåáðû B , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ
                                                    ·
                                                      x∈F
                                     (x t y) ∈ F ⇒
                                                      y∈F

íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì. Òàêèì îáðàçîì äàííîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåò ýêâèâàëåíòíîñòü ïîíÿòèé ¾óëü-
òðàôèëüòð¿ è ¾ïðîñòîé ôèëüòð¿ áóëåâîé àëãåáðû.

Страницы