Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

P (·) x X
k
m
k
k = 1, v ,
P
v
i=k
m
k
= m (v 1)
M( m; p
1
, p
2
, . . . , p
v
)
p (m
1
, . . . , m
v
) =
m!
m
1
! m
2
! . . . m
v
!
p
m
1
1
p
m
2
2
. . . p
m
v
v
;
p
k
(0, 1), k = 1, v.
µ
k
= mp
k
, k = 1, v
C = (µ
ij
)
v1, v1
i,j=1
; µ
ii
= mp
i
(1 p
i
) ;
µ
ij
= mp
i
p
j
, i 6= j .
v = 2 , p
1
= p Bi (m, p)
p (m
1
) =
µ
m
m
1
p
m
1
(1 p)
mm
1
; p (0, 1)
µ = mp, σ
2
= mp(1 p) .
θ Θ R
q
ˆ
θ θ
θ
θ
J Θ
η, 0 < η < 1
P {θ
J } > η .
θ
J η
θ
J J 0 1
J θ
θ
©
p
i
ª
v
i=1
v ¯p J
(0
,
1)
v
= Θ
J (θ
, θ
+
) (
ˆ
θ ε,
ˆ
θ + ε)
0 6 θ
< θ
+
6 1; θ
, θ
+
θ
0 < ε
ε η η
α = 1 η
p
1
, p
2
, . . . , p
v
m
1
, m
2
, . . . , m
v
,
P
v
k=1
m
k
= m
m
p
1
, p
2
, . . . , p
v
P ( x |X
1
, X
2
, . . . , X
v
)
(0, 1)
â ñîîòâåòñòâèèPñ ðàñïðåäåëåíèåì P (·) ñîîòíîøåíèå x ∈ Xk áóäåò âûïîëíÿòüñÿ mk
                v
ðàç, k = 1, v , i=k mk = m èìååò (v − 1)-ìåðíîå ïîëèíîìèàëüíîå (ìóëüòèíîìèàëüíîå)
ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè M ( m; p1 , p2 , . . . , pv ), ïëîòíîñòü êîòîðîãî äàåòñÿ ôîðìóëîé
                                                   m!
                    p (m1 , . . . , mv ) =                       pm1 pm2 . . . pm
                                                                                v ;
                                                                                 v

                                             m1 ! m2 ! . . . mv ! 1 2                   (6)
                                                              pk ∈ (0, 1), k = 1, v.
   Îòìåòèì, ÷òî ïåðâûå ìîìåíòû ïîëèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñóòü
                                       µk = mpk , k = 1, v
à ìàòðèöà êîâàðèàöèé 
                              v−1, v−1
                    C = (µij )i,j=1    ; µii = mpi (1 − pi ) (äèñïåðñèè);
                                                                                        (7)
                                                         µij = − mpi pj , i 6= j .
   Ïðè v = 2 , p1 = p èìååì áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Bi (m, p) âåðîÿòíîñòè
                                  µ ¶
                                   m m1
                        p (m1 ) =     p (1 − p)m−m1 ; p ∈ (0, 1)                        (8)
                                   m1
äëÿ êîòîðîé
                                   µ = mp, σ 2 = mp(1 − p) .
   Äëÿ îöåíêè èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ ñ îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ Θ ⊆ Rq èñïîëüçóþò
òî÷å÷íûå è èíòåðâàëüíûå îöåíêè.
   Îöåíêà θ̂ ïàðàìåòðà θ åñòü ñòàòèñòèêà, ò.å. ôóíêöèÿ íàáëþä¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Òî÷å÷íàÿ îöåíêà åñòü êîíêðåòíîå çíà÷åíèå îöåíêè, êîòîðàÿ è ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå
ïðèáëèæåíèÿ íåèçâåñòíîãî çíà÷åíèÿ θ∗ .
   Èíòåðâàë (ïðîèçâîëüíîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî, íå çàâèñÿùåå îò θ∗ ) J ⊆ Θ íàçûâàþò
äîâåðèòåëüíûì ñ äîñòîâåðíîñòüþ (êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ) η, 0 < η < 1, åñëè
                                         P { θ∗ ∈ J } > η .                             (9)
     Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åñëè îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð θ∗ íåèçâåñòåí, íî ôèêñèðîâàí, òî
âåðîÿòíîñòü ñâÿçûâàåòñÿ íå ñ íèì, à ñ èíòåðâàëîì J . Òîãäà η â (9) íå åñòü âåðîÿòíîñòü
âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ θ∗ ∈ J (êîòîðàÿ äëÿ äàííîãî J ðàâíà ëèáî 0, ëèáî 1), à ÿâëÿåòñÿ
âåðîÿòíîñòüþ òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé èíòåðâàë J ¾íàêðîåò¿ ôèêñèðîâàííîå
                                                                 © ªv    çíà÷åíèå θ∗ .
      íàøåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå θ áóäóò âûñòóïàòü âåðîÿòíîñòè pi i=1 , êîòîðûå èíîãäà
áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå v -è÷íîãî âåêòîðà p̄, à èíòåðâàëû J áóäóò ÿâëÿòüñÿ ïîäîáëàñòÿìè
ìíîæåñòâà (0, 1)v = Θ.
      îäíîìåðíîì ñëó÷àå èíòåðâàë J çàäàþò îáû÷íî â âèäå (θ− , θ+ ) èëè (θ̂ − ε, θ̂ + ε),
ãäå 0 6 θ− < θ+ 6 1; θ− , θ+  çàâèñÿùèå îò θ∗ ñòàòèñòèêè, 0 < ε, íàçûâàÿ â ïîñëåäíåì
ñëó÷àå ε òî÷íîñòüþ, à η  íàäåæíîñòüþ îöåíêè. ×àñòî âìåñòî η ïîëüçóþòñÿ âåëè÷èíîé
α = 1 − η.
     Íàøà çàäà÷à (ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ) ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü òî÷å÷íûå
è èíòåðâàëüíûå îöåíêè íåèçâåñòíûõ, P       íî ôèêñèðîâàííûõ âåëè÷èí p1 , p2 , . . . , pv ïî
                                             v
ñëó÷àéíûì çíà÷åíèÿì m1 , m2 , . . . , mv ,   k=1 mk = m. Ïîñòðîåííûå ôóíêöèè îöåíêè
äîëæíû áûòü ïðèìåíèìû äëÿ ñëó÷àÿ ìàëîãî ÷èñëà m ïðåöåäåíòîâ. Âåðîÿòíîñòè
p1 , p2 , . . . , pv ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè íåêîòîðîãî íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
P ( x | X1 , X2 , . . . , Xv ).
     Çàìåòèì, íàêîíåö, ÷òî, ïîñêîëüêó èñêîìûå âåðîÿòíîñòè ïðèíàäëåæàò ïîäìíîæåñòâàì
(0, 1) êîíå÷íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, ðàññìàòðèâàåìûå íèæå ìåòîäû îòíîñÿòñÿ
ê ïàðàìåòðè÷åñêèì ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.