Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f( p |m
w
, m
r
) =
f(p)f( m
w
, m
r
|p)
1
Z
0
f(p)f( m
w
, m
r
|p) dp
.
f( m
w
, m
r
|p ) = p
m
w
(1 − p)
m
r
f(p)
Be (a, b) a > 0, b > 0
f( p ) = f( p |a, b ) =
Γ(a + b)
Γ(a)Γ(b)
p
a−1
(1 − p)
b−1
, p ∈ (0, 1) .
Be (a, b) a > 0, b > 0
µ
β
=
a
a + b
, σ
2
β
=
ab
(a + b)
2
(a + b + 1)
.
f( p |m
w
, m
r
) =
Γ(a + b + m)
Γ(m
w
+ a)Γ(m
r
+ b)
p
m
w
+a−1
(1 − p)
m
r
+b−1
,
p ∈ (0, 1) ,
Be
(
m
w
+
a, m
r
+
b
)
Z
S
v−1
(¯x)
n
Y
i=1
x
m
i
i
dx
1
. . . dx
n
=
m
1
! . . . m
n
!
(
n
P
i=1
m
i
+ n − 1)!
,
m
1
, m
2
, . . . , m
n
v = 2 p
1
+ p
2
= 1, p
1
= p
1
Z
0
W ( p, q )f( p |m
w
, m
r
) dp = R(q) → min , q ∈ S
v−1
(x) .
W
1
( p, q ) = ( p − q)
2
µ
µ =
m
w
+ a
m + a + b
.
   Ôîðìóëà Áàéåñà â íàøåì ñëó÷àå èìååò âèä
                                                        f (p)f ( mw , mr | p)
                            f ( p | mw , mr ) =                                           .       (11)
                                                   Z1
                                                        f (p)f ( mw , mr | p) dp
                                                   0

Çäåñü f ( mw , mr | p ) = pmw (1 − p)mr  ïðàâäîïîäîáèå.
     êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ f (p) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü áåòòà-ðàñïðåäåëåíèå
(B ) Be (a, b) ñ ïàðàìåòðàìè a > 0, b > 0, ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà
                                                Γ(a + b) a−1
                   f ( p ) = f ( p | a, b ) =            p (1 − p)b−1 , p ∈ (0, 1) .              (12)
                                                Γ(a)Γ(b)
B -ðàñïðåäåëåíèå î÷åíü óäîáíî äëÿ íàøèõ öåëåé, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ
àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàèáîëåå ïðîñòî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìû êðèâûõ
ïëîòíîñòåé Be (a, b) ïðè ðàçëè÷íûõ a > 0, b > 0 âåñüìà ðàçíîîáðàçíû (ñì. [55]). Çàìåòèì
çäåñü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ B -ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíû
                                        a                             ab
                             µβ =          ,     σβ2 =                                .
                                       a+b               (a +   b)2 (a     + b + 1)
   Ñ ó÷¼òîì ñäåëàííîãî âûáîðà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
áóäåò
                                            Γ(a + b + m)
              f ( p | mw , mr ) =                           pmw +a−1 (1 − p)mr +b−1 ,
                                         Γ(mw + a)Γ(mr + b)                                       (13)
                                                                         p ∈ (0, 1) ,

ò.å. Be(mw + a, mr + b).
    Óêàæåì, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíàìåíàòåëÿ (11) è ïîäîáíûõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò
ôîðìóëó Ëèóâèëëÿ [23], [52]:
                            Z        n
                                     Y                         m1 ! . . . m n !
                                         xm
                                          i dx1 . . . dxn = P
                                           i
                                                             n                  ,                 (14)
                         Sv−1 (x̄)
                                     i=1                    ( mi + n − 1)!
                                                                i=1

ãäå m1 , m2 , . . . , mn  íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
   Ïðè v = 2 è ó÷åòîì p1 + p2 = 1, p1 = p ñôîðìóëèðîâàííàÿ â íà÷àëå ï. 5.2 çàäà÷à
ìèíèìèçàöèè ïðèíèìàåò âèä
               Z1
                    W ( p, q )f ( p | mw , mr ) dp = R(q) → min ,                q ∈ Sv−1 (x) .
               0

   Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ïðè êâàäðàòè÷íîé

                                           W1 ( p, q ) = ( p − q)2

ôóíêöèè ïîòåðü áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ñîâïàäàåò                                c ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì
àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå                                îæèäàíèå µ àïîñòåðèîðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ (13) åñòü
                                   mw + a
                              µ =          .
                                  m+a+b

Страницы