Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 19 стр.

Ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìîäèôèêàöèÿ ÌÏ-îöåíêè ñ ó÷¼òîì
àïðèîðíîé èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî p∗ èëè êàê ìîäèôèêàöèÿ àïðèîðíîé îöåíêè a/(a+b)
ñ ó÷¼òîì íàáëþä¼ííûõ âåëè÷èí mw è mr .
   Ïðè îòñóòñòâèè êàêîé-ëèáî èíôîðìàöèè î çíà÷åíèÿõ âåðîÿòíîñòè p (γi = 1, i = 1, m)
ïî ïðèíöèïó íåîïðåäåë¼ííîñòè Ëàïëàñà ïîëàãàåì, ÷òî àïðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü èìååò
ðàâíîìåðíîå íà (0, 1) ðàñïðåäåëåíèå. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå  ýòî B -ðàñïðåäåëåíèå
ñ ïàðàìåòðàìè a = b = 1. Òîãäà ïîëó÷àåì àïîñòåðèîðíóþ ïëîòíîñòü â âèäå
                                                      Γ(m + 2)
                        f ( p | mr , mw ) =                          pmw (1 − p)mr ,             (15)
                                                  Γ(mw + 1)Γ(mr + 1)
ò.å. ïëîòíîñòü B -ðàñïðåäåëåíèÿ Be (mr + 1, mw + 1) ó êîòîðîãî µ = (mw + 1)/(m + 2).
    Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíà òî÷å÷íàÿ ôóíêöèÿ îöåíêà p̂W1 = p̂W âåðîÿòíîñòè îøèáêè
ðàñïîçíàâàíèÿ 1 − ν :
                                            mw + 1
                                    p̂W =          .                               (16)
                                            m+2
    Íàéäåì òåïåðü ôóíêöèþ îöåíêè p̂W2 = p̂W ïðè íîðìèðîâàííîé ôóíêöèè ïîòåðü W2 .
Èìååì [3]:
                                       Z1
                                            ( p − q )2 (m + 1)! mw
                          R(q) =                                p (1 − p)mr dp =
                                            p (1 − p) mr ! mw !
                                       0
                   Z1
                                        (m − 1)! m (m + 1)
               =        ( p − q )2                             pmw −1 (1 − p)mr −1 dp =
                                     (mr − 1)! mr (mw − 1)! mv
                   0
                               Z1
               m (m + 1)                               (m − 1)!
             =                       ( p − q )2                       pmw −1 (1 − p)mr −1 dp =
                mr mw                             (mr − 1)! (mw − 1)!
                               0
                                             Z1
                            m (m + 1)
                          =                       ( p − q)2 f ( p | mw − 1, mr − 1) dp .
                             mr mw
                                             0

Ìèíèìóì çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè áóäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè
q = p̂W2 = mw /m, è, òàêèì îáðàçîì, ìû ñíîâà ïîëó÷àåì îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî
ïðàâäîïîäîáèÿ.
    Âîçâðàòèìñÿ ê îöåíêå (16). ßñíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ñìåù¼ííîé : åñëè p̂  ÌÏ-îöåíêà,
òî
                                         m         1
                                p̂W =        p̂ +      ,
                                      m+2         m+2
è ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ p̂, ïðèâåä¼ííûõ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå 5.1,
                                ½                 ¾
                                    m           1      mp∗ + 1
                  M{p̂W } = M           p̂ +         =         6= p∗ .
                                  m+2        m+2         m+2
Òàêæå ÿñíî, ÷òî îöåíêà p̂W íåñìåùåíà àñèìïòîòè÷åñêè.
   Äèñïåðñèÿ D{p̂W } ïîëó÷åííîé îöåíêè ðàâíà
                                      ½                   ¾
                                         m             1
                          D{p̂W } = D         p̂ +            =
                                        m+2         m+2
                             µ      ¶2
                                 m               m p∗ (1 − p∗ )
                          =            D{p̂} =                  ,
                               m+2                 (m + 2)2