Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
p
∗
x
(β)1/2
p
∗
W
3
(p, q) = |p−q|
p
∗
Be(1, b)
b
ˆp =
m
w
+ 1
m + b + 1
.
W
W
p
∗
∈ (0, 1) W
W = W
1
p
ˆp =
√
m
1 +
√
m
m
1
m
+
1
1 +
√
m
1
2
.
Be(
√
m/2,
√
m/2)
Z
W = W
2
W
2
p ∈ [0, 1] A
n = 1, 2, . . . , 20 r
p n r
A ˇp p(A)
A ˆp
ML
= r/n ˆp
B
= (r+1)/(n+2)
ˇp = λ · ˆp
ML
+ (1 − λ) · ˆp
B
n r = n/2 λ
îöåíêà (ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ) ïîâëå÷åò, êàê ïðàâèëî, îøèáêè ÷àñòûå, íî
íåáîëüøèå. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî äàííûå îöåíêè â ñèëó óêàçàííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿþòñÿ
â ñâî¼ì ðîäå ãðàíè÷íûìè, è èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè êîíêðåòíûõ çàäà÷ Z â êà÷åñòâå
òî÷å÷íîé îöåíêè èñêîìîé âåðîÿòíîñòè p∗ ìîæíî âûáðàòü ëþáîå çíà÷åíèå ìåæäó
ìîäîé è ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ïîëó÷åííîãî B -ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî, íàïðèìåð, åãî ìåäèàíà x(β)1/2 âñåãäà ðàñïîëîæåíà â óêàçàííîì äèàïàçîíå è çà
îöåíêó âåðîÿòíîñòè ïðèíÿòü èìåííî ìåäèàíó. Òàêàÿ îöåíêà áóäåò îáëàäàòü ñâîéñòâîì
ðàâíîâåðîÿòíîé íåäîîöåíêè è ïåðåîöåíêè p∗ , ÷òî ìîæåò îêàçàòüñÿ óäîáíûì äëÿ íåêîòîðûõ
ïðèëîæåíèé. Êñòàòè, îíà áóäåò ÿâëÿòüñÿ áàéåñîâñêîé ñ ôóíêöèåé øòðàôà W3 (p, q) = |p−q|
[30].
     [29] äëÿ ìàëûõ p∗ ïðåäëàãàåòñÿ â êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áðàòü Be(1, b)
ñ áîëüøèì b. Òîãäà áàéåñîâñêîé ôóíêöèåé îöåíêè áóäåò
                                           mw + 1
                                    p̂ =          .                                 (17)
                                           m+b+1
   Äëÿ íàøåé çàäà÷è ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èñïîëüçîâàòü ò.í. W -ìèíèìàêñíóþ îöåíêó, ïðè
êîòîðîé ìàêñèìàëüíûå ïîòåðè äëÿ íåêîòîðîé âûáðàííîé ôóíêöèè ïîòåðü W ìèíèìàëüíû
ïî p∗ ∈ (0, 1). Ïîíÿòèå W -ìèíèìàêñíîñòè ââîäèòñÿ íåçàâèñèìî îò çàäàíèÿ êàêîãî-
ëèáî àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîýòîìó, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
â ðàìêàõ ÷àñòîòíîãî ïîäõîäà. Èíîãäà îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîäîáðàòü àïðèîðíîå
ðàñïðåäåëåíèå, ïðè êîòîðîì ïîëó÷åííàÿ ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà îêàçûâàåòñÿ òàêæå ðàâíîé
è ñîîòâåòñòâóþùåé áàéåñîâñêîé. Òàêîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò íàèìåíåå
áëàãîïðèÿòíûì.
   Åñëè âûáðàòü ôóíêöèþ ïîòåðü êâàäðàòè÷íîé (W = W1 ), òî ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà
ïàðàìåòðà p áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò èìåòü âèä [11], [59]
                                 √
                                   m m1         1    1
                           p̂ =    √       +     √     .
                                1+ m m       1+ m 2
   Ïðåäñòàâëÿåòñÿ, îäíàêî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííîé ôóíêöèè îöåíêè â íàøåì
ñëó÷àå íåäîñòàòî÷íî îïðàâäàíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ¾ôèçèêè¿ çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî,
äëÿ âûøåóêàçàííîé       √ íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíûì ðàñïðåäåëåíèåì îêàçûâàåòñÿ B -
                 √ îöåíêè
ðàñïðåäåëåíèå Be( m/2, m/2). Íåÿñíî, êàê ïàðàìåòðû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü
îáîñíîâàíû â ðàìêàõ çàäà÷è Z .
   Åñëè æå âûáðàòü íîðìèðîâàííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ ïîòåðü (W = W2 ),
òî W2 -ìèíèìàêñíûìè îöåíêàìè èñêîìûõ âåðîÿòíîñòåé áóäóò ÿâëÿòüñÿ îòíîñèòåëüíûå
÷àñòîòû. Ïðè ýòîì íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíîì ðàñïðåäåëåíèåì îêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîå.
Íåïðèåìëåìîñòü æå òî÷å÷íûõ îöåíîê â âèäå îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò äëÿ ñëó÷àÿ ìàëûõ
âûáîðîê îáñóæäàëàñü âûøå.

   Äëÿ âûÿñíåíèÿ âîïðîñà: Êàêàÿ èç âîçìîæíûõ òî÷å÷íûõ îöåíîê íàèáîëåå àäåêâàòíà
ðåàëüíûì ïðàêòè÷åñêèì ñèòóàöèÿì? áûë ïðîâåäåí ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Äëÿ ðàçíûõ
çíà÷åíèé p ∈ [0, 1] ïîÿâëåíèÿ óñëîâíîãî ñîáûòèÿ A ãåíåðèðîâàëèñü âûáîðêè îáú¼ìà
n = 1, 2, . . . , 20 è ôèêñèðîâàëîñü êîëè÷åñòâî r íàáëþä¼ííûõ ñîáûòèé. Çàòåì âû÷èñëÿëîñü
íàèáîëåå âåðîÿòíîå (ñðåäíåå) çíà÷åíèå p äëÿ êîòîðîé ïðè äàííîì n íàáëþäàåòñÿ r
ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A, ò.å. îïðåäåëÿëàñü ñòîõàñòè÷åñêàÿ îöåíêà p̌ âåðîÿòíîñòè p(A)
ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A. Îíà ñðàâíèâàëàñü ñ ÌÏ p̂M L = r/n è áàéåñîâñêîé p̂B = (r+1)/(n+2)
îöåíêàìè ïî ôîðìóëå
                                   p̌ = λ · p̂M L + (1 − λ) · p̂B
(äëÿ ÷¼òíûõ n è r = n/2 óêàçàííûå îöåíêè ñîâïàäàþò è çíà÷åíèå λ íå îïðåäåëåíî).

Страницы