Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ ≈ 0
λ r
n±1
2
n
2
± 1 n λ
n r
10000
r n λ
v > 2
f( ¯p |m
1
, m
1
. . . m
v
) =
f(¯p) f( m
1
, m
1
. . . m
v
| ¯p )
Z
S
v−1
(¯p)
f(¯p) f( m
1
, m
1
. . . m
v
| ¯p ) d¯p
.
f( m
1
, m
2
, . . . , m
v
| ¯p ) =
v
Y
k=1
p
m
k
k
¯p = {p
k
}
v
k=1
f(¯p) (v − 1)
Di (d
1
, d
2
, . . . , d
v−1
; d
v
) d
1
, d
2
, . . . , d
v
f( ¯p |d
1
, d
2
, . . . , d
v
) =
Γ(d
1
+ d
2
+ . . . + d
v
)
Γ(d
1
)Γ(d
2
) . . . Γ(d
v
)
v
Y
k=1
p
d
k
−1
k
S
v−1
(¯x) R
v
d
1
, d
2
, . . . , d
v
v = 2 Di(d
1
; d
2
)
Be(a, b)
(v − 1)
µ
Di
(x
k
) =
d
k
d
, σ
2
Di
(x
k
) =
d
k
(d − d
k
)
d
2
(d + 1)
, σ
Di
(x
i
, x
j
) =
d
i
d
j
d
2
(d + 1)
,
k = 1, v , i 6= j, i, j = 1, v , d =
v
X
k=1
d
k
.
f( ¯p |d
1
, . . . , d
v
) =
Γ(d
1
+ . . . + d
v
+ m)
Γ(d
1
+ m
1
) . . . Γ(d
v
+ m
v
)
v
Y
k=1
p
d
k
+m
k
−1
k
,
r
10000 p n
    ðåçóëüòàòå îêàçàëîñü, ÷òî ïîëó÷åííûå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè, êàê ïðàâèëî, î÷åíü
áëèçêè ê ñîîòâåòñòâóþùèì áàéåñîâñêèì (λ ≈ 0). Íàèáîëüøèå îòíîñèòåëüíûå îòêëîíåíèÿ
çíà÷åíèé λ íàáëþäàëèñü êîãäà r áûëî ðàâíî n±1 2
                                                 äëÿ íå÷¼òíûõ èëè, ñîîòâåòñòâåííî,
n
2
  ± 1 äëÿ ÷¼òíûõ n, ãäå ðàññìàòðèâàåìûå îöåíêè ìàëî ðàçëè÷àþòñÿ è âåëè÷èíà λ
ïëîõî îáóñëîâëåíà.  èíòåðåñóþùåé íàñ îáëàñòè ìàëûõ n è r çíà÷åíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé
è áàéåñîâñêîé îöåíîê ñîâïàäàëè ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ (äëÿ ïðèáëèçèòåëüíî 10000
íàáëþäåíèé çíà÷åíèé r ïðè äàííîì n âåëè÷èíà λ ñîñòàâëÿëà ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ
ïðîöåíòîâ). Òàêèì îáðàçîì öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ áàéåñîâñêèå îöåíîê,
îñîáåííî â ñëó÷àå ìàëûõ âûáîðîê, ìîæíî ñ÷èòàòü ïîäòâåðæäåííûì ñòîõàñòè÷åñêèì
ìîäåëèðîâàíèåì25 .

5.2.3 Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé
Ïóñòü òåïåðü v > 2.  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå ôîðìóëà Áàéåñà èìååò âèä
                                                          f (p̄) f ( m1 , m1 . . . mv | p̄ )
                   f ( p̄ | m1 , m1 . . . mv ) =      Z                                                 .            (18)
                                                               f (p̄) f ( m1 , m1 . . . mv | p̄ ) dp̄
                                                   Sv−1 (p̄)

Çäåñü
                                                                           v
                                                                           Y
                                   f ( m1 , m2 , . . . , mv | p̄ ) =             pm
                                                                                  k
                                                                                    k


                                                                           k=1

ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ è, åñòåñòâåííî, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè (5).
Êàê îòìå÷àëîñü â ï. 3, èñêîìûå âåðîÿòíîñòè p̄ = {pk }vk=1 ïîä÷èíÿþòñÿ ïîëèíîìèàëüíîìó
ðàñïðåäåëåíèþ (6).
    êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ f (p̄) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü (v − 1)-ìåðíîå
ðàñïðåäåëåíèå Äèðèõëå Di (d1 , d2 , . . . , dv−1 ; dv ) ñ ïàðàìåòðàìè d1 , d2 , . . . , dv , èìåþùåå
ïëîòíîñòü                                                                    v
                                                   Γ(d1 + d2 + . . . + dv ) Y dk −1
                 f ( p̄ | d1 , d2 , . . . , dv ) =                             pk                (19)
                                                   Γ(d1 )Γ(d2 ) . . . Γ(dv )            k=1

â ëþáîé òî÷êå ñèìïëåêñà Sv−1 (x̄) è ðàâíóþ íóëþ â äðóãèõ òî÷êàõ Rv . Çäåñü âñå
d1 , d2 , . . . , dv  âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ïðè v = 2 Di(d1 ; d2 ) ñâîäèòñÿ ê
Be(a, b).
     Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ëèóâèëëÿ ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî ñðåäíåå, äèñïåðñèÿ è êîâàðèàöèÿ
(v − 1)-ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Äèðèõëå âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
                           dk       2               dk (d − dk )                                  di dj
             µDi (xk ) =      ,    σDi (xk ) =                   ,         σDi (xi , xj ) =                      ,
                           d                        d2 (d + 1)                                  2
                                                                                               d (d +       1)
                                                                                                    v
                                                                                                    X                (20)
                                  ãäå k = 1, v ,               i 6= j,   i, j = 1, v ,        d =           dk .
                                                                                                    k=1

   Èç (18) è (19) ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü
                                                                             Yv
                                                 Γ(d1 + . . . + dv + m)
                  f ( p̄ | d1 , . . . , dv ) =                                  pdk +mk −1 ,                         (21)
                                               Γ(d1 + m1 ) . . . Γ(dv + mv ) k=1 k
 25 Ïðîãðàììà  ñòîõàñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íàïèñàíà À. Ëàïøèíûì â ñðåäå Delphi 5.0 äëÿ ÏÊ. Äëÿ
ãåíåðàöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû r èìåþùåé áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ¾áðàêîâêè¿.
 ïðîãðàììå ìîäåëèðîâàëîñü 10000 ýêñïåðèìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó p ïðè äàííîì n. Âðåìÿ
ñ÷åòà ïðè ýòîì íå ïðåâîñõîäèëî òðåõ ìèíóò (ïðîöåññîð Pentium-III).

Страницы