Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 15 стр.

   Далее нам понадобится ещё одно свойство произведения отношений. Пусть
α, β ⊆ A × B и γ, δ ⊆ B × C. Тогда для любых a ∈ A и c ∈ C имеем

 a[(α ∩ β) ¦ (γ ∩ δ)]c = ∃ x [a(α ∩ β)x ∧ x(γ ∩ δ)c] =
                            B
                                = ∃ x [aαx ∧ aβx ∧ xγc ∧ xδc] ⇒
                                     B
                                               = a(α ¦ γ)c ∧ a(β ¦ δ)c = a[(α ¦ γ) ∩ (β ¦ δ)]c .

Таким образом, показано, что для указанных выше отношений

                                (α ∩ β) ¦ (γ ∩ δ) ⇒ (α ¦ γ) ∩ (β ¦ δ)                        (1.1)

(обратное, вообще говоря, не верно).

1.2.3       Однородные отношения
Отношение ρ ⊆ A2 называется бинарным на A или однородным. Понятно, что если ρ —
отношение на A и B ⊆ A, то ρ ∩ B 2 — отношение на B.
    Множество P(A2 ) всех бинарных на A отношений обозначим R(A). Для элементов
R(A) произведение всегда определено, поэтому в силу ассоциативности произведения
соответствий алгебра h R(A), ¦ i есть полугруппа. Мы будем всегда предполагать, что
A 6= ∅.
    Для натурального k вводят естественное обозначение

                                          α     . . ¦ α} = αk .
                                          | ¦ .{z
                                             k раз


      Проиллюстрируем действие введённых выше операций из R(A) на простом примере.
Пример 6 (Мальцев). Рассмотрим отношение α =< на множестве N.6 Тогда справедливо
следующее.

  1. α# : (a < # b = b < a) ⇒ (< # = >). Таким образом, псевдообращением отношения
     «меньше» будет отношение «больше».

  2. α2 :       a <2 b    =      ∃ x (a < x ∧ x < b)       =      a + 1 < b. Отсюда следует, что
                                 N
        a  1.

  3. α ¦ α# : a(< ¦ >)b = ∃ x ( a < x ∧ x > b ) =
                                 N
        ∃ x ( x > max {a, b} ) = ON .
        N

  4. α# ¦ α : a(> ¦ <)b = ∃ x ( a > x ∧ x < b ) =
                                 N
        = ∃ x ( x < min {a, b} ) = 1 (0), если min {a, b} > 1 (иначе) .
            N

   Мы видели, что, вообще говоря, αβ 6= βα. Отношения α, β ∈ R(A) называются
перестановочными, если αβ = βα.
   Выделим некоторые типы однородных отношений на A. Отношения ∅ и OA назы-
вают несобственными. Очевидно, что для любого отношения ρ ∈ R(A) имеет место
∅ ⊆ ρ ⊆ OA .
  6
   Мы используем стандартные обозначения N, Z, Q и R для множеств натуральных, целых, рацио-
нальных и действительных чисел соответственно. N0 = N ∪ {0} — пополненный натуральный ряд.

                                                     15