Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 17 стр.

на множестве прямых обычного пространства (если считать прямую параллельной са-
мой себе), отношение подобия геометрических фигур, отношение равенства по модулю
n целых чисел и др.
   Отношения эквивалентности часто обозначают знаком ∼. По определению, эквива-
лентность ∼ описывается соотношением M⊆∼ ∧ ∼ = ∼# ∧ ∼2 ⊆ ∼. Ниже будет пока-
зано, что ∼2 = ∼, и, таким образом, справедливо соотношение

                                     M ⊆ ∼ = ∼# = ∼2 .                                    (1.2)

   При данной эквивалентности ∼ на множестве A каждому a ∈ A можно сопоставить
множество [a]∼ эквивалентных ему элементов — классов эквивалентности или смежных
              def
классов: [a]∼ = { x ∈ A | x ∼ a }. Если эквивалентность фиксирована, то смежный класс
элемента a обозначают [a].
   Формирование смежных классов происходит в ходе выполнения т.н. операции аб-
стракции отождествления по данной эквивалентности. Понятно, что при этом каж-
дый x ∈ A попадает в один и только один класс эквивалентности, и классы эквивалент-
ности или совпадают, или не пересекаются, накрывая в совокупности всё множество A.
Отсюда, в частности следует, что ∼2 = ∼ и справедливо (1.2).
   Говорят, что совокупность непустых множеств {Ai }i∈I образует разбиение множества
A, если            [
                     Ai = A и Ai ∩ Aj = ∅ при i 6= j; i, j ∈ I .
                    i∈I

   Пусть задано разбиение множества A. Тогда можно определить отношение эквива-
лентности так, что элементы A эквивалентны, если входят в один класс. Ясно, что та-
кая эквивалентность единственна. Таким образом, между отношением эквивалентности
и разбиениями A существует взаимнооднозначное соответствие.
   Приведённые рассуждения можно оформить в виде очень простой, но очень важной
теоремы.

Теорема 1.10 (О классах эквивалентности). Пусть A — непустое множество. Ес-
ли на A задана эквивалентность, то множество классов эквивалентности образу-
ет разбиение A. Если задано разбиение A на классы, то можно единственным обра-
зом определить эквивалентность ∼ на A так, что для любой пары a, b элементов
A a ∼ b ⇔ «a и b находятся в одном классе разбиения».

   «Теорема о классах эквивалентности находит в математике широчайшее применение,
и её по праву можно считать одной из главных (а то и самой главной) теоремой».7
   Множество, элементами которого являются классы эквивалентности множества A по
отношению эквивалентности ∼ называется фактор-множеством и обозначается A/ ∼.
Пример 7.  1. Если A — множество зёрен, насыпанных в мешки, и для зёрен a и
    b положить a ∼ b, если они лежат в одном мешке, то классами эквивалентности
    являются множества зёрен, лежащих в одном мешке, а фактор-множеством A/ ∼ —
    множество мешков.

  2. Если W — множество слов русского языка и для слов u и v положить u ∼ v,
     если они начинаются с одной и той же буквы (в русском языке 33 буквы), то клас-
     сами эквивалентности являются множества слов, начинающихся на данную букву,
     а фактор-множеством W/∼ — множество соответствующих букв ( |W/∼ | = 31 ).
  7
    Успенский В.А. Что такое аксиоматический метод? — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский уни-
верситет», 2000.

                                              17