Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 18 стр.

1.3.2   Устойчивость эквивалентности
Будем говорить, что отношение эквивалентности устойчиво относительно некоторой опе-
рации над множествами, если результат применения этой операции к эквивалентностям
есть эквивалентность. Ясно, например, эквивалентность не устойчива относительно взя-
тия дополнения.
Теорема 1.11. Отношение эквивалентности устойчиво относительно пересечения
множеств.
Доказательство. Покажем рефлексивность, симметричность и транзитивность пересе-
чения эквивалентностей. Поскольку α и β — эквивалентности, то для них справедливо
соотношение (1.2). Тогда
  R:    M⊆ α ∧ M⊆ β ⇒ M ⊆ α ∩ β ;
  S:    (α ∩ β)# = α# ∩ β # = α ∩ β ;
  T:    (α ∩ β)2 ⇒ α2 ∩ β 2 = α ∩ β.
При доказательстве транзитивности мы воспользовались соотношением (1.1).
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что пересечение эквивалентностей из про-
извольной непустой (возможно бесконечной) совокупности есть эквивалентность.
Теорема 1.12. Пусть α и β — эквивалентности. Тогда если для любой пары смежных
классов по α и, соответственно, по β справедливо утверждение: «либо один из классов
лежит в другом, либо они не пересекаются», то α ∪ β есть эквивалентность. Если
α ∪ β — эквивалентность, то α ∪ β = αβ.
Доказательство. Пусть приведённое утверждение неверно, т.е. имеются смежные клас-
сы [a]α и [b]β не лежат один в другом и имеют общий элемент c. Можно считать, что
a ∈ [a]α r [b]β и b ∈ [b]β r [a]α .


                                 [a]α '$[b]β
                                       '$

                                        a   c    b
                                       &%
                                        &%
                                                        A

   Пары (a, c) и (c, b) содержатся в α ∪ β. Если бы это отношение было эквивалент-
ностью, то оно, в силу транзитивности, содержало бы и пару (a, b). Последнее означа-
ет справедливость либо aαb, либо aβb. Это, однако, не имеет места, и, следовательно,
α ∪ β — не эквивалентность. C другой стороны, (a, b) ∈ αβ.
   Если же приведённое утверждение верно, то любой класс [a]α есть элемент разбиения
некоторого класса [b]β , либо наоборот, и классы эквивалентности α∪β суть “объемлющие
классы”.
Пример 8. Пусть α и β — эквивалентности на множестве A = {a, b, c, d} со смежными
классами

             A/α = {{a}, {b}, {c, d}}       и        A/β = {{a, b}, {c}, {d}} .

Тогда α ∪ β есть эквивалентность и A/(α ∪ β) = {{a, b}, {c, d}}.

                                            18