Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 16 стр.

    Единичное 1A (иначе — диагональное MA ) отношение есть { (a, a) ∈ A2 }. Это от-
ношение тождества. Ясно, что 1A — единица в полугруппе однородных отношений на
множестве A, и АС h R(A), ¦, 1A i и есть моноид. С другой стороны, например, ρρ#
может быть не равно 1A . Это объясняет выбор термина “псевдообратное” для отношения
ρ# . В обозначениях 1A , MA , когда это не приводит к недоразумениям, обычно опускают
подстрочный символ.

Определение 1.8. Пусть отношение ρ ∈ R(A) называется

R: рефлексивным, если M ⊆ ρ, что означает справедливость aρa;

AR: антирефлексивным, если ρ∩ M= ∅, означает, что aρ̄a;

S: симметричным, если ρ# ⊆ ρ. Из свойства (ρ# )# = ρ сразу следует, что симметрич-
     ность отношения ρ эквивалентна свойству ρ# = ρ, или что aρb = bρa;

AS: антисимметричным, если ρ ∩ ρ# =M, что означает aρb ∧ bρa ⇒ a = b;

T: транзитивным, если ρ2 ⊆ ρ, что означает aρb ∧ bρc ⇒ aρc.

   Здесь a, b и c — произвольные элементы множества A.

Утверждение 1.1. Пусть α, β ∈ R(A). Тогда

  1. Если β — рефлексивно, то α ⊆ αβ. Если α — рефлексивно, то β ⊆ αβ.

  2. Если α ∪ β — транзитивно, то αβ ⊆ α ∪ β.

Доказательство.         1. Для произвольных a и b из A, если β — рефлексивно, спра-
    ведливо
                                  aαb ⇒ aαb ∧ bβb ⇒ aαβb .
        Первое включение доказано, второе доказывается аналогично.

  2. Для произвольных a и b из A, если α ∪ β — транзитивно, справедливо

        a(αβ)b = ∃x (aαx ∧ xβb) ⇒ ∃x (a(α ∪ β)x ∧ x(α ∪ β)b) = a(α ∪ β)2 b ⇒ a(α ∪ β)b ,

        что эквивалентно требуемому.

1.3      Отношение эквивалентности и его свойства
Исключительную роль в математике играют отношения эквивалентности.

Определение 1.9. Однородные рефлексивные, симметричные и транзитивные отноше-
ния называют отношениями эквивалентности.

1.3.1     Классы эквивалентности
Множество всех эквивалентностей на непустом множестве A будем обозначать E(A).
Очевидно, любая эквивалентность на A содержит MA и содержится в OA . Последнее
отношение называют иногда аморфной эквивалентностью.
   Ясно, что эквивалентность элементов какого-либо множества, вообще говоря, не озна-
чает их тождества. Эквивалентностями являются, например, отношение параллельности


                                            16