Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 19 стр.

   Мы уже отмечали, что отношения могут быть, а могут и не быть перестановочными.
Покажем, что то же справедливо и для эквивалентностей. Пусть α и β — эквивалент-
ности на множестве A = {a, b, c, d} со смежными классами

                          {a, b}, {c, d}   и    {a, c}, {b, d}

соответственно. Тогда αβ и βα — аморфные эквивалентности на A и, значит, α и β
перестановочны. Если же A = { a, b, c }, а смежные классы по эквивалентностям α, β
суть соответственно
                           {a, b}, {c} и {a}, {b, c} ,
то a(αβ)c, но неверно, что a(βα)c, и данные эквивалентности не перестановочны. При
этом, ни αβ, ни βα не являются эквивалентностями.
Теорема 1.13. Произведение эквивалентностей будет эквивалентностью, если и
только если они перестановочны.
Доказательство. Пусть α и β — эквивалентности.
  (⇐) Если αβ — эквивалентность, то αβ = (αβ)# = β # α# = βα.
  (⇒) Если αβ = βα, то иммем
R:   для произвольного a ∈ A имеем aαa ∧ aβa, откуда a(αβ)a, т.е. M⊆ αβ;

S:   (αβ)# = β # α# = βα = αβ ;

T:   (αβ)2 = αβαβ = ααββ = α2 β 2 = αβ .

Теорема 1.14. Пусть α, β и γ — эквивалентности. Тогда
 1) α ⊆ αβ,   β ⊆ αβ;

 2) α ⊆ γ ∧ β ⊆ γ ⇒ αβ ⊆ γ.
Доказательство.    1) Данные включения следуют из п. 1) утверждения 1.1.

 2) Включение следуют из п. 2) утверждения 1.1, если заметить, что α ∪ β ⊆ γ.


   Таким образом, произведение эквивалентностей содержит каждую их них и содер-
жится в любой эквивалентности, которая их порознь содержит. Заметим, что здесь αβ
может и не быть эквивалентностью.
   Если S — некоторое свойство элементов множества A, то наименьшим подмноже-
ством множества A, обладающим свойством S называется пересечение всех подмно-
жеств A, элементы которых обладают этим свойством.
   В случае, когда можно взять γ = αβ, теорема 1.14 имеет важное
Следствие. Для перестановочных эквивалентностей произведение является наимень-
шей эквивалентностью, их содержащей.
   Ниже мы укажем процедуру построения наименьшей эквивалентности, содержащую
данное отношение.
Определение 1.10. Наименьшая эквивалентность ρ e , содержащая отношение ρ, назы-
вается эквивалентным замыканием ρ.
   Наименьшее транзитивное отношение ρ t , содержащее отношение ρ, называется тран-
зитивным замыканием ρ.

                                           19