Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 66 стр.

Пример 41. Покажем, как может быть построен неглавный ультрафильтр F над мно-
жеством натуральных чисел. На первом шаге рассмотрим в P(N) фильтр Фреше, ко-
торый обозначим F0 . Он не является максимальным, поскольку, например, ни множе-
ство чётных чисел 2N, ни его дополнение (множество нечётных чисел) не принадлежат
F0 . Поэтому надо принять решение, отнести 2N к конструируемому ультрафильтру F
или нет. Пусть принято решение о том, что 2N ∈ F . Это будет означать, что некото-
рые другие множества (все множества, содержащие 2N ) также будут принадлежать F .
Полученный фильтр обозначим F1 . Понятно, что он также не будет являться искомым
ультрафильтром, поскольку относительно ряда множеств неопределённость останется:
например, ни множество 3N, ни его дополнение не принадлежат F1 . Здесь снова нужно
принять решение о вхождении одного из указанных множеств в F1 , построить F2 и т.д.
Показано, что в результате выполнения “трансфинитного числа шагов” будет построен
искомый ультрафильтр F .
   Хотя мы привели чрезвычайно грубый набросок способа построения фильтра F , на-
деемся, что читателю видна роль аксиомы выбора в данных рассуждениях: никакого
способа указать, какое множество нужно рассматривать на каждом шаге для включения
его или его дополнения в F , нет. Кроме того, на каждом шаге можно принять любую
из указанных альтернатив. Мы видим, что процесс построения F существенно неодно-
значен, и, на самом деле, до сих пор не указано ни одного конкретного неглавного уль-
трафильтра, даже в самой простой бесконечной булевой алгебре — со счетным числом
атомов.
   Неглавные ультрафильтры над P(N) могут быть использованы, например, при по-
строении поля гипердействительных чисел в нестандартном анализе.
Пример 42. Множество гипердействительных чисел ∗ R, изучаемых в нестандартном ана-
лизе, представляет собой неархимедово упорядоченное поле, являющееся расширением
поля R действительных чисел.20 Это означает, что ∗ R — цепь, в которую вложено мно-
жество R (образ R — стандартные гипердействительные числа) и содержащее, кроме
того, множество т.н. нестандартных гипердействительных чисел. При этом в ∗ R выпол-
няются все аксиомы поля, однако не выполняется справедливая в R аксиома Архимеда:
«для любых двух положительных чисел A и B существует натуральное n такое, что
nA > B».
   Согласно принципу наследования свойств при расширении, аксиома Архимеда может
нарушаться лишь когда хотя бы одно из чисел A и B нестандартное. Среди нестан-
дартных чисел выделяют бесконечно большие и бесконечно малые. Так, если числа ε и
I суть положительные бесконечно малое и бесконечно большое гипердействительные, а
x — положительное действительное, то неравенства

                        ε| + .{z
                               . . + ε} > x   и     x
                                                    | + .{z
                                                          . . + x} > I
                            n раз                      n раз

не будут выполняться ни для какого натурального n.
   Поле гипердействительных чисел ∗ R можно построить, используя некоторый неглав-
ный ультрафильтр F в P(N). Рассмотрим всевозможные последовательности обыч-
ных действительных чисел. Будем говорить, что последовательности a = a1 , a2 , . . . и
b = b1 , b2 , . . .. эквивалентны, если равенство ai = bi нарушается на множестве, не при-
надлежащем F .
  20
     Элементарному введению в нестандартный анализ посвящена брошюра Успенский В.А. Нестандарт-
ный, или неархимедов, анализ. — М.: Знание, 1983, откуда взяты этот и предыдущий примеры.



                                              66