Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 68 стр.

3       Алгебраические системы
3.1     Модели и алгебры
3.1.1    Основные определения
Мы уже пользовались одним из основных понятий современной математики — понятием
алгебраической системы (АС). Неформально, АС — это некоторое множество с опреде-
лёнными на нём операциями и отношениями. Для формального задания АС A определим
сначала составляющие её элементы.
   Пусть Op и Rel — некоторые непустые одновременно и не имеющие общих элементов
совокупности символов произвольных операций и отношений. Если указанные множества
конечны, то соответствующая алгебраическая система называется АС конечного типа.
Мы будем рассматривать только такие системы. Сигнатура σ есть упорядоченная пара
h Op, Rel i. Записывают σ = sgnt A. Различают следующие частные случаи: Rel = ∅, и
тогда АС называют (универсальной) алгеброй, и Op = ∅, и тогда АС называют реляци-
онной системой или моделью.
   Мощности множеств Op и Rel обозначим N и M соответственно. Каждому элемен-
ту fi ∈ Op сопоставлено натуральное число ni > 0, i = 1, N , а элементу rj ∈ Rel —
целое число mj > 0, j = 1, M , выражающее «арность» или «местность» соответствую-
щего функционального или предикатного символа. Нульарные отношения не включают
в сигнатуру, поскольку таковых только два: это логические константы 0 и 1, и они иг-
рают специальную роль, неявно присутствуя в каждой АС с непустым множеством Rel.
Также часто АС содержит двуместный предикат, выражающий отношение эквивалент-
ности, однако соответствующий символ в сигнатуре при практических математических
исследованиях обычно явно не указывают.
   Сигнатурным операциям с нулевыми арностями соответствуют фиксированные эле-
менты области значений соответствующих функций. Будем считать, что операции с нену-
левыми арностями имеют номера с 1 по N 0 6 N . Арности сигнатурных операций и от-
ношений записывают в виде кортежа

                        τ = h n1 , . . . , nN 0 , m1 , . . . , mM , 0, . . . , 0 i ,

который называют типом АС (при N 0 = N заключительные нули и разделитель «,» от-
сутствуют). Если оговаривают, что задается алгебра или модель, то их типы записывают,
перечисляя арности лишь элементов из Op или, соответственно, из Rel.
      При задании типа, последовательности арностей n1 , . . . , nN 0 и m1 , . . . , mM приня-
то упорядочивать так, чтобы они оказались невозрастающими. Задавая сигнатуру, её
элементы перечисляют в соответствии с выбранной упорядоченностью. Если необхо-
димо явно указывать арности элементов, их записывают в качестве верхних индексов:
                     m
fini , i = 1, N 0 , rj j , j = 1, M .
      Рассмотрим теперь не имеющее общих элементов с Op и Rel непустое множество A.
Оно будет называться носителем или основным множеством АС A, что записывают
A = Supp A. Если A — конечно, то соответствующая алгебраическая система называется
конечной.
      Совокупности всех операций и отношений, которые можно определить на A будем
обозначать Op A и Rel A соответственно. Понятно, что это — очень мощные множества,
состоящие из большого числа элементов, даже если A — конечное множество небольшой
мощности.
      Определим далее понятие интерпретации данной абстрактной сигнатуры. Интерпре-


                                                    68