Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 70 стр.

A4 : Носитель АС A4 есть множество V всех векторов ~x трёхмерного пространства, а
     сигнатурные символы интерпретируются так:
                 f1 7→ + ,      f2 7→ × (векторное умножение) , f3 (~a) = −~a ,
                        r(~a, ~b) 7→ «вектор ~a коллинеарен вектору ~b» ,
                                          c1 , c2 7→ ~0 .

   Операции и отношения во всех приведённых примерах, соответствующие сигнатур-
ным символам f1 , f2 , f3 и r1 будут одноимёнными. Везде мы предполагали, что введен-
ные операции и отношения имеют обычный математический смысл. Заметим, что в этих
АС неявно присутствует предикат эквивалентности =, интерпретируемый как равенство.
   Приведём примеры конкретных алгебраических систем различной сигнатуры.
Пример 44.  1. AC h A, f i, где f — одноместная операция на множестве A называется
    унаром.
  2. Поле действительных чисел h R, +, ·, 0, 1 i есть алгебра типа h 2, 1, 0, 0 i. Кортеж
     h +, ·, −, −1 , 0, 1 i нельзя рассматривать, как сигнатуру поля, т.к. операция −1 не
     определена для нуля.
     Кольцо K с единицей есть алгебра сигнатуры σK               =    h ·, +, −, 0, 1 i типа
     h 2, 2, 1, 0, 0 i.
                                                                                   −1
     Группа есть алгебра типа h 2, 1, 0 i с носителем G и сигнатурой σG = h ◦,          , e i.
  3. Частично предупорядоченное множество h P, ≤ i есть модель типа h 2 i.
  4. Если одна АС может быть получена из другой удалением некоторых операций,
     отношений или констант, то первая АС называется редуктом второй.
     Упорядоченная группа A есть АС с носителем A типа h 2, 1, 2, 0 i и сигнатурой
     h ◦, −1 ; v, e i, где редукт G = h A, ◦, −1 , e i есть группа, а редукт P = h A, v i —
     ч.у. множество. При этом считается, что x v y ⇒ a ◦ x ◦ b v a ◦ y ◦ b для любых
     x, y, a, b ∈ A.
     Если при этом P — цепь, то A есть линейно упорядоченная группа. Примером
     линейно упорядоченной группы будет структура h R, +, −, 6, 0 i.
   Во всех приведённых выше примерах считалось, что приведённые операции и отно-
шения обладают известными свойствами. В общем случае эти свойства необходимо зада-
вать.
   Совокупность АС фиксированной сигнатуры называется классом алгебраических си-
стем. Класс M АС сигнатуры σ называется многообразием, если существует множество
Σ тождеств сигнатуры σ такое, что АС сигнатуры σ принадлежит классу M если и
только если в ней выполняются все тождества Σ.
   Например, полугруппы — это многообразия сигнатуры состоящей из единственной
бинарной операции · (в инфексной записи, обычно опускается), удовлетворяющие тож-
деству (xy)z = x(yz). Ассоциативно-коммутативные кольца с единицей это многообразия
сигнатуры h +, ·, −, 0, 1 i типа h 2, 2, 1, 0, 0 i удовлетворяющие следующим тождествам
Σ:
             (x + y) + z = x + (y + z)         x+0 = 0+x = x
             x + (−x) = 0                      x+y = y+x
             (x + y)z = xz + yz                x(y + z) = xy + xz
             (xy)z = x(yz)                     x1 = 1x = x
             xy = yx.

                                            70