Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 72 стр.

    Наименьшая подсистема АС называют её главной подсистемой. Главная подсисте-
ма, однако, существует не для любой АС: например, алгебра (кольцо целых чисел)
h Z, +, ·, 0 i или модель h Z, 6 i наименьших подсистем, очевидно, не имеют. Если же
исходная АС содержит главные элементы, то они обязательно будут присутствовать во
всех её подсистемах, в т.ч. и в главной.
    Пусть дана АС A = h A, Op A, Rel A i и B ⊆ A. Обозначим через B = hBi пересече-
ние всех подсистем из Sub (A), содержащих B. B называют подсистемой, порождённой
множеством B , а элементы B — порождающими элементами. Поэтому B мы также
будем записывать B = h [B], Op A, Rel Ai. Если B — конечное множество, то B есть
конечнопорождённая система.
Пример 47.      1. Подкольцо чётных в кольце целых чисел порождается элементом 2.
  2. Пусть A = h { a0 , a1 , . . . , an−1 }, f11 i — унар, где f11 (ai ) = ai+1(mod n) . Тогда A по-
     рождается любым элементом своего носителя.
  3. h N, + i = h [1], + i.
  4. АС h N, · i не есть конечнопорождённая алгебра.
   Итак, непустое пересечение подсистем АС всегда является её подсистемой. Чтобы
снять условие непустоты пересечения подсистем, обычно в качестве подсистемы допус-
кают и систему с пустым носителем. Объединение же подсистем АС, вообще говоря,
подсистемой не является, что показывает нижеследующий
Пример 48. h nZ, + i и h mZ, + i при любых целых n и m суть подсистемы h Z, + i,
однако множество nZ ∪ mZ при некратных друг другу n и m неустойчиво по отношению
к сложению, и в этом случае h nZ ∪ mZ, + i даже не есть АС. Например, при n = 6 и
m = 10 множество { 0, ±6, ±10, ±12, ±20, . . . } не содержит элемента 16=6+10.
   Ниже будет сформулировано условие, когда объединение подсистем будет являться
подсистемой.
Определение 3.2. Совокупность S подмножеств A называется локальной, если любое
конечное подмножество A содержится в некотором элементе S.
   Примером локальной подсистемы множества R является совокупность интервалов
вида (−n, n), n ∈ N.
Теорема 3.1. Пусть A          =   h A, Op A, Rel A i — алгебраическая система и
SS= { Ai ⊆ A | i ∈ I } — локальная совокупность подмножеств её носителя A. Тогда
h i∈I Ai , Op A, Rel A i 6 A.
Доказательство. Нам достаточно показать лишь устойчивость множества S относи-
тельно операций из Op A, поскольку все остальные свойства полученной системы будут
наследоваться от исходной.
                   S
   Обозначим U = i∈I Ai и рассмотрим произвольную n-местную операцию операцию
f из Op A. Для произвольного набора (a1 , . . . , an ) = a имеем: с одной стороны, a ∈ U ,
а с другой — найдется такое множество Ai ∈ U , что a ∪ f (a) ∈ Ai . Это означает, что
U — устойчиво относительно f .
   Таким образом, устойчивость на объединении элементов локальной совокупности сле-
дует из того, что операции определены над конечным множеством аргументов.
   Выше мы отмечали, что совокупность Sub (A) всех подсистем АС A есть ч.у. мно-
жество. Для того, чтобы Sub (A) оказалось решёткой, необходимо показать существо-
вание наименьшей подсистемы, содержащей объединение двух произвольных подсистем

                                                72