Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A. Оказывается, это можно сделать и, таким образом, Sub (A) есть решётка. Более того,
она оказывается полной решёткой (см. с. 59).
Пример 49. Продолжая рассмотрение примера 48 отметим, что наименьшей подсисте-
мой АС h Z, + i, содержащей её подсистемы h nZ, + i и h mZ, + i будет h [m ∧ n], + i.
Например, для h 6Z, + i и h 10Z, + i это h 2Z, + i.
Если A и B — две однотипные АС абстрактной сигнатуры σ с носителями A
1
и A
2
соответственно, то можно определить прямое произведение C = A × B этих АС. Сигна-
тура АС C будет состоять из такого же числа тех же символов операций и отношений,
но местности соответствующих символов удваиваются.
Пусть f
1
и f
2
— одноимённые операции, а r
1
и r
1
— одноимённые отношения из A и
B соответственно. Соответствующие им операция f
×
и отношение r
×
в АС C = A × B
определяются как f
×
(a, b) = ( f
1
(a), f
2
(b) ) и r
×
(a, b) = ( r
1
(a), r
2
(b) ) (здесь a ∈ A и
b ∈ B — произвольные наборы элементов соответствующей арности.
3.2 Гомоморфизмы алгебраических систем
3.2.1 Согласованность отображений АС с операциями и отношениями
Определение 3.3. Пусть h A, Op A, Rel A i и h A
0
, Op A
0
, Rel A
0
i — две однотипные АС,
ϕ — отображение из A в A
0
, а f ∈ Op A и f
0
∈ Op A
0
— пара одноимённых операций
арности n. Тогда говорят, что отображение ϕ согласовано с данными операциями, если
ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) и ϕ(f(A
0
)) = f
0
(ϕ(A
0
)) (3.1)
для n > 0 или n = 0 соответственно.
Пример 50. Для алгебр h R r {0}, · i и h R, + i отображение ϕ
a
(x) = log
a
|x| при любом
действительном a > 0, a 6= 1 согласовано с операциями · и + данных АС.
Определение 3.4. Пусть h A, Op A, Rel A i и h A
0
, Op A
0
, Rel A
0
i — две однотипные АС,
ϕ — отображение из A в A
0
, а r ∈ Rel A и r
0
∈ Rel A
0
— пара одноимённых отношений
арности m. Тогда говорят, что отображение ϕ соответственно
1) согласовано с данными отношениями, если
r(a
1
, . . . , a
m
)
¡
¢
r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
)) , (3.2)
2) сильно согласовано с данными отношениями, если
r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
))
¡
¢
¡
¢
∃
A
b
1
, . . . , b
m
£¡
ϕ(a
k
) = ϕ(b
k
), k = 1, m
¢
∧ r(b
1
, . . . , b
m
)
¤
, (3.3)
3) полностью (или тождественно) согласовано с данными отношениями, если
r(a
1
, . . . , a
m
) ≡ r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
)) .
Если отображение ϕ окажется согласованным со всеми парами одноимённых опера-
ций [отношений] двух АС, то будем говорить, что ϕ согласовано с операциями [отноше-
ниями] этих АС.
73
A. Оказывается, это можно сделать и, таким образом, Sub (A) есть решётка. Более того,
она оказывается полной решёткой (см. с. 59).
Пример 49. Продолжая рассмотрение примера 48 отметим, что наименьшей подсисте-
мой АС h Z, + i, содержащей её подсистемы h nZ, + i и h mZ, + i будет h [m ∧ n], + i.
Например, для h 6Z, + i и h 10Z, + i это h 2Z, + i.
   Если A и B — две однотипные АС абстрактной сигнатуры σ с носителями A1 и A2
соответственно, то можно определить прямое произведение C = A × B этих АС. Сигна-
тура АС C будет состоять из такого же числа тех же символов операций и отношений,
но местности соответствующих символов удваиваются.
   Пусть f1 и f2 — одноимённые операции, а r1 и r1 — одноимённые отношения из A и
B соответственно. Соответствующие им операция f × и отношение r× в АС C = A × B
определяются как f × (a, b) = ( f1 (a), f2 (b) ) и r× (a, b) = ( r1 (a), r2 (b) ) (здесь a ∈ A и
b ∈ B — произвольные наборы элементов соответствующей арности.

3.2     Гомоморфизмы алгебраических систем
3.2.1   Согласованность отображений АС с операциями и отношениями
Определение 3.3. Пусть h A, Op A, Rel A i и h A0 , Op A0 , Rel A0 i — две однотипные АС,
ϕ — отображение из A в A0 , а f ∈ Op A и f 0 ∈ Op A0 — пара одноимённых операций
арности n. Тогда говорят, что отображение ϕ согласовано с данными операциями, если

           ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an ))      и    ϕ(f (A0 )) = f 0 (ϕ(A0 ))           (3.1)

для n > 0 или n = 0 соответственно.

Пример 50. Для алгебр h R r {0}, · i и h R, + i отображение ϕa (x) = loga |x| при любом
действительном a > 0, a 6= 1 согласовано с операциями · и + данных АС.

Определение 3.4. Пусть h A, Op A, Rel A i и h A0 , Op A0 , Rel A0 i — две однотипные АС,
ϕ — отображение из A в A0 , а r ∈ Rel A и r 0 ∈ Rel A0 — пара одноимённых отношений
арности m. Тогда говорят, что отображение ϕ соответственно

 1) согласовано с данными отношениями, если

                                    r(a1 , . . . , am ) ¡¢ r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ,                       (3.2)

 2) сильно согласовано с данными отношениями, если

        r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ¡¢
                             ¡¢ ∃ b , . . . , b
                                                    £¡                               ¢                        ¤
                                   1            m        ϕ(ak ) = ϕ(bk ), k = 1, m       ∧ r(b1 , . . . , bm ) , (3.3)
                                A


 3) полностью (или тождественно) согласовано с данными отношениями, если

                                    r(a1 , . . . , am ) ≡ r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) .

   Если отображение ϕ окажется согласованным со всеми парами одноимённых опера-
ций [отношений] двух АС, то будем говорить, что ϕ согласовано с операциями [отноше-
ниями] этих АС.


                                                            73

Страницы