Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пример 51. Рассмотрим две модели типа h 1 i: h {a
1
, a
2
}, r i и h {b}, r
0
i. Единственное
возможное отображение ϕ из A на B задаётся равенствами ϕ(a
1
) = ϕ(a
2
) = b. Пусть
r
0
(b) = 1. Тогда:
1) если r(a
1
) = r(a
2
) = 0, то ϕ согласовано,
2) если r(a
1
) = 1 и r(a
2
) = 0, то ϕ сильно согласованно,
3) если r(a
1
) = r(a
2
) = 1, то ϕ тождественно согласованно
с парой r, r
0
одноимённых отношений рассматриваемых моделей.
3.2.2 Типы гомоморфизмов АС
Определение 3.5. Пусть A = h A, Op A, Rel A i и B = h B, Op B, Rel B i — две одно-
типные АС. Отображение ϕ : A → B, согласованное с операциями этих АС называется
соответственно
1) гомоморфизмом из A в B, если ϕ согласованно,
2) взаимнооднозначным (или биективным) гомоморфизмом между A и B, если ϕ —
биекция, согласованная,
3) сильным гомоморфизмом из A в B, если ϕ сильно согласованно,
4) изоморфизмом между A и B, если ϕ — биекция, полностью согласованная
с отношениями этих АС.
Вместо термина «сильный» для гомоморфизма иногда употребляют термин строгий.
Для алгебр понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма, очевидно, совпадают, а
биективный (взаимнооднозначный) гомоморфизм есть изоморфизм.
Пример 52. Модель A = h Z, < i не изоморфна, а лишь биективно гомоморфна модели
B = h 2Z, 6 i: отображение ϕ(n) = 2 n есть взаимнооднозначный (не сильный) гомо-
морфизм из A в B, но ϕ “просто”, но не тождественно согласовано с отношениями <
и 6.
Замечание. Отметим важное свойство сильных гомоморфизмов, которое нам пона-
добится в дальнейшем. Соотношение (3.3) позволяет утверждать, что если (в вве-
дённых обозначениях) справедливо r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)), то в A найдутся такие
b
1
, . . . , b
m
из ядра отображения ϕ, что справедливо r(b
1
, . . . , b
m
), и, таким образом,
r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
))
¡
¢
r(b
1
, . . . , b
m
). Можно сказать, что мы сохранили истинность пере-
ходя от отношения r
0
к одноименному отношению r “при движении против отображения
ϕ”.
АС A и B называют изоморфными, если существует изоморфизм между A и B,
что записывают как A
∼
=
B. То, что ϕ — гомоморфизм из A в B записывают как
ϕ ∈ Hom(A, B). Если ϕ ∈ Hom(A, B), то, как нетрудно проверить, Im ϕ 6 B.
Понятно, что тождественное отображение любой АС на себя есть изоморфизм, если
ϕ : A → B — изоморфизм, то и ϕ
−1
: B → A — также изоморфизм и композиция
гомоморфизмов (изоморфизмом) есть гомоморфизм (изоморфизм). Легко видеть, что
отношение изоморфизма есть отношение эквивалентности на множестве алгебраических
систем и, следовательно, все алгебраические системы распадаются на классы эквива-
лентности, содержащие изоморфные системы. Обычно изучают свойства алгебраической
системы с точностью до изоморфизма. Такие свойства называют абстрактными.
74
Пример 51. Рассмотрим две модели типа h 1 i: h {a1 , a2 }, r i и h {b}, r 0 i. Единственное
возможное отображение ϕ из A на B задаётся равенствами ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ) = b. Пусть
r 0 (b) = 1. Тогда:
 1) если r(a1 ) = r(a2 ) = 0, то ϕ согласовано,

 2) если r(a1 ) = 1 и r(a2 ) = 0, то ϕ сильно согласованно,

 3) если r(a1 ) = r(a2 ) = 1, то ϕ тождественно согласованно
с парой r, r 0 одноимённых отношений рассматриваемых моделей.

3.2.2   Типы гомоморфизмов АС
Определение 3.5. Пусть A = h A, Op A, Rel A i и B = h B, Op B, Rel B i — две одно-
типные АС. Отображение ϕ : A → B, согласованное с операциями этих АС называется
соответственно
 1) гомоморфизмом из A в B, если ϕ согласованно,

 2) взаимнооднозначным (или биективным) гомоморфизмом между A и B, если ϕ —
    биекция, согласованная,

 3) сильным гомоморфизмом из A в B, если ϕ сильно согласованно,

 4) изоморфизмом между A и B, если ϕ — биекция, полностью согласованная
с отношениями этих АС.
   Вместо термина «сильный» для гомоморфизма иногда употребляют термин строгий.
Для алгебр понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма, очевидно, совпадают, а
биективный (взаимнооднозначный) гомоморфизм есть изоморфизм.
Пример 52. Модель A = h Z, < i не изоморфна, а лишь биективно гомоморфна модели
B = h 2Z, 6 i: отображение ϕ(n) = 2 n есть взаимнооднозначный (не сильный) гомо-
морфизм из A в B, но ϕ “просто”, но не тождественно согласовано с отношениями <
и 6.
Замечание. Отметим важное свойство сильных гомоморфизмов, которое нам пона-
добится в дальнейшем. Соотношение (3.3) позволяет утверждать, что если (в вве-
дённых обозначениях) справедливо r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )), то в A найдутся такие
b1 , . . . , bm из ядра отображения ϕ, что справедливо r(b1 , . . . , bm ), и, таким образом,
r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) ¡¢ r(b1 , . . . , bm ). Можно сказать, что мы сохранили истинность пере-
ходя от отношения r 0 к одноименному отношению r “при движении против отображения
ϕ”.
   АС A и B называют изоморфными, если существует изоморфизм между A и B,
что записывают как A ∼ = B. То, что ϕ — гомоморфизм из A в B записывают как
ϕ ∈ Hom(A, B). Если ϕ ∈ Hom(A, B), то, как нетрудно проверить, Im ϕ 6 B.
   Понятно, что тождественное отображение любой АС на себя есть изоморфизм, если
ϕ : A → B — изоморфизм, то и ϕ−1 : B → A — также изоморфизм и композиция
гомоморфизмов (изоморфизмом) есть гомоморфизм (изоморфизм). Легко видеть, что
отношение изоморфизма есть отношение эквивалентности на множестве алгебраических
систем и, следовательно, все алгебраические системы распадаются на классы эквива-
лентности, содержащие изоморфные системы. Обычно изучают свойства алгебраической
системы с точностью до изоморфизма. Такие свойства называют абстрактными.

                                                 74

Страницы