Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

грани: это отмеченные выше диагональ и аморфная конгруэнция. Пересечение конгру-
энций α и β совпадает с их теоретико-множественным пересечением α ∩ β, а объедине-
ние — с эквивалентным замыканием (α∪β)
e
их теоретико-множественного объединения
(если α и β перестановочны, то как мы помним, (α ∪ β)
e
= α ∪ β = αβ ).
Теорема 3.3. Если на алгебре A все конгруэнции перестановочны, то решётка Con(A)
модулярна.
Доказательство. Пусть α, β, γ ∈ Con(A) и α ⊆ β. Для того, чтобы в решётке конгру-
энций выполняется модулярный закон, достаточно показать, что выполняется включение
α ⊆ β ⇒ α ∪ (β ∩ γ) ⊇ β ∩ (α ∪ γ) , (∗)
обратное к неравенству полумодулярности.
Заменив объединение конгруэнций на их произведение, для произвольных подалгебр
A и B алгебры A имеем
A(β ∩ (α ¦ γ))B ⇔ AβB ∧ ∃X ( AαX ∧ XγB ) ⇔ ∃X ( AβB ∧ Aα X ∧ XγB ) .
Здесь X — некоторая подалгебра A.
Покажем теперь, что в данных условиях AβB можно заменить на XβB. Действи-
тельно, AαX в силу α ⊆ β влечёт AβX, что, в свою очередь, эквивалентно XβA в силу
симметричности конгруэнций. Вместе с AβB это означает, что справедливо XβA ∧ AβB,
т.е. Xβ
2
B или XβB.
Таким образом,
∃X ( AβB ∧ AαX ∧ XγB ) ⇒ ∃X ( AαX ∧ XβB ∧ XγB ) ⇔
⇔ ∃X ( AαX ∧ X(β ∩ γ)B ) ⇔ A[α ¦ (β ∩ γ)]B .
С заменой ¦ 7→ ∪ это эквивалентно (∗).
Теорема 3.4. Ядро гомоморфизма АС есть конгруэнция на ней.
Доказательство. Пусть ϕ — гомоморфное отображение АС с носителем A. Поскольку
ядро Ker ϕ есть эквивалентность, нам достаточно показать его стабильность относи-
тельно операций данной АС.
Рассмотрим произвольную операцию f данной АС. Пусть местность f есть n.
Если n > 0, то возьмём a
1
, a
1
0
. . . , a
n
, a
n
0
∈ A такие, что a
i
(Ker ϕ)a
i
0
, иначе
ϕ(a
i
) = ϕ(a
i
0
) для всех i = 1, n. Поскольку ϕ — гомоморфизм, имеем:
ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) =
= f
0
(ϕ(a
1
0
), . . . , ϕ(a
n
0
)) = ϕ(f(a
1
0
, . . . , a
n
0
)) ,
т.е. f(a
1
, . . . , a
n
) Ker ϕ f (a
1
0
, . . . , a
n
0
).
Если n = 0, то заметим, что ядро гомоморфизма — рефлексивное отношение, ста-
бильное по определению.
Пусть на АС A = h A, Op A, Rel A i задана конгруэнция α. Легко видеть, что ре-
зультаты операций из Op A и истинность отношений из Rel A не изменятся при замене
элемента a на какой-либо другой из класса эквивалентности [a]
α
. Это позволяет кор-
ректно определить на фактор-множестве A/α одноимённые относительно sgnt A опера-
ции и отношения. Операция f
∗
, одноимённая операции f ∈ Op A арности n, задаётся
равенством
f
∗
([a
1
]
α
, . . . , [a
n
]
α
)
def
= [f(a
1
, . . . , a
n
)]
α
или f
∗
((A/α)
0
)
def
= [f(A
0
)]
α
(3.4)
76
грани: это отмеченные выше диагональ и аморфная конгруэнция. Пересечение конгру-
энций α и β совпадает с их теоретико-множественным пересечением α ∩ β, а объедине-
ние — с эквивалентным замыканием (α ∪ β) e их теоретико-множественного объединения
(если α и β перестановочны, то как мы помним, (α ∪ β) e = α ∪ β = αβ ).
Теорема 3.3. Если на алгебре A все конгруэнции перестановочны, то решётка Con(A)
модулярна.
Доказательство. Пусть α, β, γ ∈ Con(A) и α ⊆ β. Для того, чтобы в решётке конгру-
энций выполняется модулярный закон, достаточно показать, что выполняется включение
                                   α ⊆ β ⇒ α ∪ (β ∩ γ) ⊇ β ∩ (α ∪ γ) ,                                                 (∗)
обратное к неравенству полумодулярности.
   Заменив объединение конгруэнций на их произведение, для произвольных подалгебр
A и B алгебры A имеем

 A(β ∩ (α ¦ γ))B ⇔ AβB ∧ ∃X ( AαX ∧ XγB ) ⇔ ∃X ( AβB ∧ AαX ∧ XγB ) .
Здесь X — некоторая подалгебра A.
    Покажем теперь, что в данных условиях AβB можно заменить на XβB. Действи-
тельно, AαX в силу α ⊆ β влечёт AβX, что, в свою очередь, эквивалентно XβA в силу
симметричности конгруэнций. Вместе с AβB это означает, что справедливо XβA ∧ AβB,
т.е. Xβ 2 B или XβB.
    Таким образом,

 ∃X ( AβB ∧ AαX ∧ XγB ) ⇒ ∃X ( AαX ∧ XβB ∧ XγB ) ⇔
                               ⇔ ∃X ( AαX ∧ X(β ∩ γ)B ) ⇔ A[α ¦ (β ∩ γ)]B .
С заменой ¦ 7→ ∪ это эквивалентно (∗).
Теорема 3.4. Ядро гомоморфизма АС есть конгруэнция на ней.
Доказательство. Пусть ϕ — гомоморфное отображение АС с носителем A. Поскольку
ядро Ker ϕ есть эквивалентность, нам достаточно показать его стабильность относи-
тельно операций данной АС.
   Рассмотрим произвольную операцию f данной АС. Пусть местность f есть n.
   Если n > 0, то возьмём a1 , a1 0 . . . , an , an 0 ∈ A такие, что ai (Ker ϕ)ai 0 , иначе
ϕ(ai ) = ϕ(ai 0 ) для всех i = 1, n. Поскольку ϕ — гомоморфизм, имеем:

 ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                       = f 0 (ϕ(a1 0 ), . . . , ϕ(an 0 )) = ϕ(f (a1 0 , . . . , an 0 )) ,
т.е. f (a1 , . . . , an ) Ker ϕ f (a1 0 , . . . , an 0 ).
    Если n = 0, то заметим, что ядро гомоморфизма — рефлексивное отношение, ста-
бильное по определению.
   Пусть на АС A = h A, Op A, Rel A i задана конгруэнция α. Легко видеть, что ре-
зультаты операций из Op A и истинность отношений из Rel A не изменятся при замене
элемента a на какой-либо другой из класса эквивалентности [a]α . Это позволяет кор-
ректно определить на фактор-множестве A/α одноимённые относительно sgnt A опера-
ции и отношения. Операция f ∗ , одноимённая операции f ∈ Op A арности n, задаётся
равенством
                                       def                                                    def
           f ∗ ([a1 ]α , . . . , [an ]α ) = [f (a1 , . . . , an )]α   или     f ∗ ((A/α)0 ) = [f (A0 )]α             (3.4)

                                                             76

Страницы