Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 78 стр.

    Рассмотрим произвольную тройку одноимённых операций f ∈ Op A, f 0 ∈ Op B и
f ∗ ∈ Op∗ A/Ker ϕ. Пусть их арность равна n. При n > 0 имеем
                                          (3.4)                              (3.6)
 ψ(f ∗ ([a1 ]Ker ϕ , . . . , [an ]Ker ϕ )) = ψ([f (a1 , . . . , an )]Ker ϕ ) =
                                                  (3.1)                              (3.6)
                        = ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                         = f 0 (ψ([a1 ]Ker ϕ ), . . . , ψ([an ]Ker ϕ )) , (3.7)
для любого набора элементов a1 , . . . , an из A, а при n = 0 —
                         (3.4)                     (3.6)             (3.1)
ψ(f ∗ ((A/Ker ϕ)0 )) = ψ([f (A0 )]Ker ϕ ) = ϕ(f (A0 )) = f 0 (ϕ(A0 )) = f 0 (ψ([A0 ])Ker ϕ ) .
Это означает согласованность ψ с f ∗ и f 0 , и, следовательно, со всем множеством опе-
раций систем A/Kerϕ и B.
    Теперь рассмотрим произвольную тройку одноимённых отношений r ∈ Rel A,
r 0 ∈ Rel B и r∗ ∈ Rel∗ A/Kerϕ. Пусть их арность равна m. Для любого набора эле-
ментов a1 , . . . , am из A имеем:
                                  (3.5)
 r∗ ([a1 ]Kerϕ , . . . , [am ]Kerϕ ) ⇔
                                       £¡                       ¢                         ¤ (3.2)
                ⇔ ∃ a1 0 , . . . , am 0 ai 0 (Kerϕ)ai , i = 1, m ∧ r(a1 0 , . . . , am 0 ) ⇒
                   A
                                      ⇒ r 0 (ϕ(a1 0 ), . . . , ϕ(am 0 )) ⇔
                                                            (3.6)
                          ⇔ r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ⇔ r 0 (ψ([a1 ]Kerϕ ), . . . , ψ([am ]Kerϕ )) . (3.8)
Это означает согласованность ψ с r∗ и r 0 , и, следовательно, со всем множеством отно-
шений систем A/Ker ϕ и B.
   Итак, показано, что ψ есть мономорфизм из A/Kerϕ в B и, следовательно, биек-
тивный гомоморфизм в Im ϕ.
   Для доказательства утверждения 2) теоремы заметим, что если гомоморфизм ϕ силь-
                         (3.2)
ный, то следование ⇒ в (3.8) можно обратить (см. замечание на с. 74) и, следователь-
но, заменить на ⇔. В результате получим, что отображение ψ сильно согласовано с
r∗ ∈ Rel A/Ker ϕ и r 0 ∈ Rel B и, следовательно, со всем множеством отношений си-
стем A/Kerϕ и Im ϕ ⊆ B. Поскольку отображение ψ биективо, то сильная согласован-
ность означает согласованность тождественную и ψ — изоморфизм между A/Kerϕ и
Im ϕ.
   Было установлено, что если гомоморфизм ϕ — сильный, то Im ϕ ∼     = A/Ker ϕ, или,
другими словами, образ сильного гомоморфизма АС изоморфен фактор-системе по его
ядру. С учётом замечания на с. 77, полученный результат можно переформулировать и
так: совокупность всех сильно гомоморфных образов АС с точностью до изоморфизма
совпадает с множеством всех фактор-система по различным конгруэнциям. Ясно, что
для алгебр уточнение «сильного» в обоих случаях можно опустить.
Пример 54.     1. Рассмотрим две однотипные алгебры A = h N0 , + i, B = h {+1, −1}, · i
      и отображение ϕ носителя A на носитель B, задаваемое правилом ϕ(n) = (−1)n .
      Имеем:
                     ϕ(m + n) = (−1)m+n = (−1)m · (−1)n = ϕ(m) · ϕ(n) ,
     т.е. ϕ — гомоморфизм из A в B. Далее
                                                                                             ψ
                 m(Ker ϕ)n ⇔ m ≡ 2 n ,    A/Ker ϕ = h {[0], [1]}, ⊕ i ,→ B ,
                          ψ([1]) = ϕ(1) = −1 , ψ([0]) = ϕ(0) = +1 .

                                                       78