Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 80 стр.

Теорема 3.8 (Первая об изоморфизмах алгебраических систем). Пусть АС A с носите-
лем A имеет подсистему B с носителем B, α — конгруэнция на A, ϕ = nat(A, α) и
β = B 2 ∩ α — конгруэнция на B. Тогда существует взаимнооднозначный гомоморфизм
ψ фактор-системы B/β на Im ϕ 0 , где ϕ 0 — сужение ϕ на B.

Доказательство. Рассмотрим диаграмму

                               A
                                                  ϕ
                                                             w A/α
                                    сужение                      сужение

                                u                               u
                               B     [[
                                                  ϕ0
                                                            w Im ϕ 0
                                            [[]              
                                                           ψ
                             nat (B, β)
                                                        
                                              B/β

   Сужение ϕ 0 сильного гомоморфизма ϕ = nat(A, α) на B ⊆ A есть гомомор-
физм B. По теореме 3.6 о гомоморфизме АС отображение ψ, задаваемое правилом
ψ([x]Ker β ) = ϕ 0 (x) — взаимооднозначный гомоморфизм B/Ker β на Im ϕ 0 .
Замечание. При сужении области задания свойство гомоморфизма быть сильным может
быть потеряно, так что гомоморфизм ϕ 0 , вообще говоря, не сильный. Поэтому, в общем
случае нельзя утверждать, что ψ — изоморфизм, и в данной 1-й теореме об изоморфизме
АС речь, строго говоря, идёт лишь о биективном гомоморфизме. Однако, если A —
алгебра, то ψ будет изоморфизмом, с чем связано традиционное название теоремы.
Пример 55. Рассмотрим АС A = h N0 , +, 6 i и её подсистему B = h 2N, +, 6 i. Пусть
mαn ⇔ m ≡ 2 n. Ясно, что α — конгруэнция на A, A/α = h {[1], [0]}, ⊕, 6 i и
ϕ = nat(A, α)(n) равно [1] при нечётном n и [0] при чётном.
   Далее пусть ϕ 0 — сужение ϕ на B. Тогда Im ϕ 0 = h {[0]}, ⊕, O i, β = (2N)2 ∩ α = O
и B/β = h {[0]}, ⊕, 6 i ∼
                        = Im ϕ 0 .
    Вторая теорема об изоморфизмах АС связана с дробными эквивалентностями (см.
c. 21).

Теорема 3.9 (Вторая об изоморфизмах алгебраических систем). Пусть A — АС, а α
и β — две конгруэнции на ней, причём β ⊆ α. Тогда ( A/β ) /(α/β) ∼
                                                                 = A/α.

Доказательство. Рассмотрим диаграмму

                                           A '
                                       [ [     ''nat α
                                  [^[[ ε          '')
                                    nat β



                            A/β
                                  ''                  w A/α
                                      ')         [  [
                                                    ]
                             nat (α/β) '      [^[ ψ
                                            (A/β)/(α/β)

   Зададим отображение ε правилом ε([a]β ) = [a]α . Тогда ε — сильный гомоморфизм
из A/β в A/α. По теореме 3.6 отображение ψ, задаваемое правилом ψ([[x]β ]α/β ) = ε(x),
есть изоморфизм между ( A/β ) /(α/β) и A/α.


                                                       80