Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1. 1 · x = x (унитальность),
2. (µλ) · x = µ · (λ · x) (ассоциативность),
22
3. (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
4. λ · (x + y) = λ · x + µ · x (дистрибутивные законы).
для любых λ, µ ∈ K, x, y ∈ L.
Линейное пространство L элементов L над полем K можно определить как АС
L = h L, +, {f
λ
(x)}
λ∈K
, 0 i . Это пример АС бесконечного типа.
В то же время ясно, что L можно мыслить как двухосновную алгебру с носителями
L и K конечного типа.
Более формально, в качестве носителя в многоосновных системах выступают наборы
множеств A = (A
i
)
i∈S
, где A
i
— множества, называемых иногда доменами, а S —
множество сортов доменов. Будем называть такие наборы множеств комплектами. За-
метим, что комплект множеств множеством не является. При фиксированном множестве
S будем говорить о S-комплектах.
Для S-комплекта покомпонентно (“посортно”) определяются понятие подкомплекта.
Покомпонентно определяются декартово произведение, а также образ и прообраз при
рассмотрении отображений ϕ : A → B S − комплектов A и B. Также покомпонент-
но определяется умножение отображений. Ядром рассмотренного отображения ϕ будет
являться набор φ = (ϕ
i
)
i∈S
ядер отображений ϕ
i
: A
i
→ B
i
.
Набор эквивалентностей ² = (∼
i
)
i∈S
комплекта A = (A
i
)
i∈S
определяет фактор-
комплект A/²
def
= (A
i
/∼
i
)
i∈S
. Ясно, что при этом для комплектов оказывается справед-
ливым аналог теоремы 1.20 об основном свойстве отображений.
При определении многосортных алгебраических систем аналогом понятия арности
операции или отношения служит их тип.
Тип многосортной операции f есть кортеж элементов множества сортов S вида
t = (s
1
, . . . , s
n
; s
0
). Операция f вышеуказанного типа t на комплекте A = (A
i
)
i∈S
—
это отображение
f : A
s
1
× . . . × A
s
n
→ A
s
0
.
Тип нульарной операции, выделяющая элемент во множестве A
s
0
, есть t = (s
0
).
Тип многосортного отношения r есть кортеж элементов множества сортов S вида
t = (s
1
, . . . , s
m
). Отношение r вышеуказанного типа t на комплекте A = (A
i
)
i∈S
—
это отображение
r : A
s
1
× . . . × A
s
n
→ {1, 0} .
Для данного комплекта A = (A
i
)
i∈S
совокупности Op A и Rel A есть объединение
непересекающихся совокупностей операций Op
t
A и Rel
t
A типов t.
На многосортные алгебраических системы переносятся понятия согласованности отоб-
ражений систем, с операциями и отношениями (аналог определения 3.4), фактор-систем
и гомоморфизмов различных видов (аналог определения 3.5). При этом оказываются вер-
ны аналоги теорем о гомоморфизме и изоморфизмах систем, а также теорема Биркгофа
3.5.
22
Строго говоря, данный закон не есть закон ассоциативности, поскольку операции умножения поля
и · различны.
82
  1. 1 · x = x     (унитальность),

  2. (µλ) · x = µ · (λ · x)    (ассоциативность),22

  3. (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,

  4. λ · (x + y) = λ · x + µ · x    (дистрибутивные законы).

для любых λ, µ ∈ K, x, y ∈ L.
   Линейное пространство L элементов L над полем K можно определить как АС
L = h L, +, {fλ (x)}λ∈K , 0 i . Это пример АС бесконечного типа.
   В то же время ясно, что L можно мыслить как двухосновную алгебру с носителями
L и K конечного типа.
   Более формально, в качестве носителя в многоосновных системах выступают наборы
множеств A = (Ai )i∈S , где Ai — множества, называемых иногда доменами, а S —
множество сортов доменов. Будем называть такие наборы множеств комплектами. За-
метим, что комплект множеств множеством не является. При фиксированном множестве
S будем говорить о S-комплектах.
   Для S-комплекта покомпонентно (“посортно”) определяются понятие подкомплекта.
   Покомпонентно определяются декартово произведение, а также образ и прообраз при
рассмотрении отображений ϕ : A → B S − комплектов A и B. Также покомпонент-
но определяется умножение отображений. Ядром рассмотренного отображения ϕ будет
являться набор φ = (ϕi )i∈S ядер отображений ϕi : Ai → Bi .
   Набор эквивалентностей ² = (∼i )i∈S комплекта A = (Ai )i∈S определяет фактор-
                      def
комплект A/² = (Ai /∼i )i∈S . Ясно, что при этом для комплектов оказывается справед-
ливым аналог теоремы 1.20 об основном свойстве отображений.
   При определении многосортных алгебраических систем аналогом понятия арности
операции или отношения служит их тип.
   Тип многосортной операции f есть кортеж элементов множества сортов S вида
t = (s1 , . . . , sn ; s0 ). Операция f вышеуказанного типа t на комплекте A = (Ai )i∈S —
это отображение
                                     f : As1 × . . . × Asn → As0 .
Тип нульарной операции, выделяющая элемент во множестве As0 , есть t = (s0 ).
   Тип многосортного отношения r есть кортеж элементов множества сортов S вида
t = (s1 , . . . , sm ). Отношение r вышеуказанного типа t на комплекте A = (Ai )i∈S —
это отображение
                                 r : As1 × . . . × Asn → {1, 0} .
    Для данного комплекта A = (Ai )i∈S совокупности Op A и Rel A есть объединение
непересекающихся совокупностей операций Op t A и Rel t A типов t.
    На многосортные алгебраических системы переносятся понятия согласованности отоб-
ражений систем, с операциями и отношениями (аналог определения 3.4), фактор-систем
и гомоморфизмов различных видов (аналог определения 3.5). При этом оказываются вер-
ны аналоги теорем о гомоморфизме и изоморфизмах систем, а также теорема Биркгофа
3.5.




 22
    Строго говоря, данный закон не есть закон ассоциативности, поскольку операции умножения поля
и · различны.

                                              82

Страницы