Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 81 стр.

   Приведём без доказательства ещё одну теорему.
Теорема 3.10 (О соответствии). Если A — АС с носителем A и β ∈ Con(A), то
решётка
                         L = { α | α ∈ Con(A), β ⊆ α }
изоморфна решётке Con(A/β), при этом изоморфизм ϕ задаётся равенством
ϕ(α) = nat(α/β).
   Укажем только, что здесь L и Con(A/β) — полные решётки (см. с. 59).

3.4   Многоосновные системы
Понятие АС может быть расширено. Например, если операции из Op A — частичные, то
говорят о частичной АС.
   Другим возможным направлений расширения понятия АС является задание элемен-
тов сигнатуры не на одном, а на нескольких носителях. Так появляется понятие много-
основной (многосортной, гетерогенной, полидоменной) системы. Рассмотрим некоторые
примеры многоосновных алгебр.
   Действие группы на множестве. Пусть дана группа G = h G, ◦, e i. Действие α
группы G на непустом множестве T (обозначение G : T ) обычно определяют как гомо-
                                                      α
морфизм из G в симметрическую группу Symm T преобразований T (заметим, что при
заданных группе G и множестве T можно, вообще говоря, построить различные дей-
ствия G на T ). Мы дадим иное, как представляется, более простое определение действия
группы на множестве.
   Рассмотрим структуру из пяти элементов
                                D = h G, T, ◦, ∗, e i ,
                                                            ∗
у которой редукт h G, ◦, e i есть группа G, а операция G × T → T подчиняется соотно-
шениям
                            e ∗ t = t , (g ◦ h) ∗ t = h ∗ (g ∗ t)
для любых g, h ∈ G и t ∈ T . Легко видеть, что указанные соотношения гарантируют,
что соответствующее отображение G в Symm T будет являться гомоморфизмом.
   Введённая структура D представляет собой пример двухосновной алгебры с двумя
бинарными операциями. Она имеет два носителя: G и T , причём групповая операция ◦
определена парах элементов из G, а операция ∗ — на парах элементов (g, t), где g ∈ G,
а t ∈ T . Константа e есть главный элемент D.
   Конечные автоматы. Конечном детерминированным автоматом с начальным со-
стоянием называется шестёрка объектов
                              A = h S, X, Y, ◦, ∗, s0 i ,
где S, X, Y — конечные непустые множества, называемые соответственно множествами
                                                                         ◦
состояний, входных и выходных сигналов, ◦ — функция переходов S × X → S, ∗ —
                          ∗
функция выходов S × X → Y и s0 ∈ S — начальное состояние.
   Конечные автоматы являются примером трёхосновной алгебры, имеющей три носи-
теля ( S, X и Y ), две бинарные функции (◦, ∗ ) и главный элемент (s0 ).
   Линейное пространство. Пусть L — непустое множество и M = h L, +, 0 i — абе-
лева группа (модуль). Пусть K — поле с носителем K, операцию сложения в котором бу-
дем обозначать тем же символом +, что и у модуля M, а символ операции умножения —
опускать при записи. Единицу поля K будем обозначать, как обычно, 1.
   Введем новую операцию ·, действующую из K × L в L и подчиняющуюся правилам:

                                          81